Касательная и нормаль к графику функции
Основные формулы
Уравнение касательной
Если функция дифференцируема в точке , то ее график имеет в этой точке наклонную касательную, определяемую по формуле:(1) ,
где .
Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной называется угловым коэффициентом. Он равен производной функции в точке :
(2) .
Если производная в равна бесконечности: , то график имеет вертикальную касательную
.
Уравнение нормали
Уравнение нормали, проведенной через точку графика функции имеет вид:(3) .
Угол между кривыми
Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓
Определения
- Секущая
- – это прямая, которая пересекает кривую как минимум в двух точках.
- Касательная к графику функции
- Пусть точки и принадлежат графику функции . Проведем через них секущую . Касательной к графику функции в точке называется прямая, уравнение которой получается из уравнения секущей при стремящемся к независимо от того, находится слева или справа от .
- Наклонная касательная
- – это касательная, угол α которой с осью абсцисс заключен в интервале . Уравнение наклонной касательной в точке имеет вид:
,
где – угловой коэффициент – действительное число.
Если функция дифференцируема в , то угловой коэффициент равен производной в x0:
. - Вертикальная касательная
- – это касательная, параллельная оси ординат. Уравнение вертикальной касательной имеет вид:
.
- Нормаль к графику функции
- Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Если функция имеет в точке отличную от нуля производную , то уравнение нормали имеет следующий вид:
.
Вывод последующих формул приводится в решении задачи 1
- Отрезок касательной
- Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
- Отрезок нормали
- Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
- Подкасательная
- Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
- Поднормаль
- Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
- Угол между кривыми
- Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .
Полезные формулы из аналитической геометрии
Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Направляющий вектор прямой: .
Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .
Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t:
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.
Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.
Примеры решений задач
Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓
Пример 1
Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.
Решение
Находим значение функции при :
.
Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.
Находим уравнение касательной по формуле (1):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .
Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (2):
.
Подставляем :
;
.
Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .
Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.
Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.
Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.
Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.
Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.
Ответ
Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .
Пример 2
Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .
Решение
Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .
Находим производные переменных x и y по параметру t.
;
;
;
;
.
Применяя правило дифференцирования параметрической функции, находим производную y по x.
.
Подставляя , находим производную y по x в точке .
.
Применяя формулу (1), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.
Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.
Ответ
Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .
Пример 3
Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .
Решение
Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x, считая, что y является функцией от x.
;
;
;
.
Отсюда
.
Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.
Находим уравнение касательной по формуле (1).
;
;
;
.
Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.
Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.
Ответ
Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .
Пример 4
Найти угол между кривыми и .
Решение
Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.
Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .
Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.
По формуле (4) находим:
;
.
Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.
Ответ
.
Вывод формулы для угла между кривыми
Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример, в котором .
Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .
Доказательство
Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.
Найдем разность углов
.
Поскольку , то
.
Используем формулу разности тангенсов:
;
(Ф1) .
В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться в пределах
(Ф2) .
На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше 90°. Поэтому .
При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.
1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).
2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:
.
Этот случай изображен на рисунке ⇑.
3) Пусть . В этом случае касательные взаимно перпендикулярны, а их угловые коэффициенты связаны соотношением: , или . Заменив угловые коэффициенты производными, получим:
,
что указано в (4).
Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: