Касательная и нормаль к графику функции

Определения касательной и нормали к графику функции в точке. Определения, подкасательной и поднормали. Угол между двумя кривыми. Примеры решений задач на составление уравнений касательной и нормали, и на вычисление угла между кривыми.

Основные формулы

Уравнение касательной

Если функция дифференцируема в точке , то ее график имеет в этой точке наклонную касательную, определяемую по формуле:
(1)   ,
где .
Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной называется угловым коэффициентом. Он равен производной функции в точке :
(2)   .

Если производная в равна бесконечности: , то график имеет вертикальную касательную
.

Уравнение нормали

Уравнение нормали, проведенной через точку графика функции имеет вид:
(3)   .

Угол между кривыми

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4)   ,   где .
Отсюда .
  при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Секущая

– это прямая, которая пересекает кривую как минимум в двух точках.

Касательная к графику функции

Пусть точки и принадлежат графику функции . Проведем через них секущую . Касательной к графику функции в точке называется прямая, уравнение которой получается из уравнения секущей при стремящемся к независимо от того, находится слева или справа от .

Наклонная касательная

– это касательная, угол α которой с осью абсцисс заключен в интервале . Уравнение наклонной касательной в точке имеет вид:
,
где – угловой коэффициент – действительное число.
Если функция дифференцируема в , то угловой коэффициент равен производной в x₀:
.

Вертикальная касательная

– это касательная, параллельная оси ординат. Уравнение вертикальной касательной имеет вид:
.

Нормаль к графику функции

Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Если функция имеет в точке отличную от нуля производную , то уравнение нормали имеет следующий вид:
.

Вывод последующих формул приводится в решении задачи 1

Отрезок касательной

Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.

Отрезок нормали

Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.

Подкасательная

Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.

Поднормаль

Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.

Угол между кривыми

Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Направляющий вектор прямой: .

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов     и   .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t:

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решений задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Решение

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (1):
;
;
;
  – уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (2):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
  – уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Ответ

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Решение

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t.
;
;
;
;
.

Применяя правило дифференцирования параметрической функции, находим производную y по x.
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Применяя формулу (1), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Ответ

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3)   ,
проведенных в точке .

Решение

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x, считая, что y является функцией от x.
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (1).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Ответ

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Решение

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4)   .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

По формуле (4) находим:
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Ответ

.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
,   где .
Или ;
  при .

Доказательство

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

Найдем разность углов
.
Поскольку , то
.
Используем формулу разности тангенсов:
;
(Ф1)   .

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться в пределах
(Ф2)   .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше 90°. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ;   . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть . В этом случае касательные взаимно перпендикулярны, а их угловые коэффициенты связаны соотношением: , или . Заменив угловые коэффициенты производными, получим:
,
что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 30-06-2021   Изменено: 10-06-2024