Методы решения физико-математических задач

Касательная и нормаль к графику функции

Касательная, нормаль, подкасательная TP и поднормаль PN к графику функции
Определения касательной и нормали к графику функции в точке. Определения, подкасательной и поднормали. Угол между двумя кривыми. Примеры решений задач на составление уравнений касательной и нормали, и на вычисление угла между кривыми.
Содержание
См. также:
()(\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} )() ()(\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits} )()

Основные формулы

Уравнение касательной

Если функция y =  f (x) дифференцируема в точке x0, то ее график имеет в этой точке наклонную касательную, определяемую по формуле:
(1)   y = y0 + y ′0(x – x0),
где y0 =  f (x0),  y ′0 =  f  ′(x0).
Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной называется угловым коэффициентом. Он равен производной функции в точке x0:
(2)   k = tg α = y ′0.

Если производная в x0 равна бесконечности:  f  ′(x0) = ∞, то график имеет вертикальную касательную
x = x0.

Уравнение нормали

Уравнение нормали, проведенной через точку M0 (x0, y0) графика функции имеет вид:
(3)   y – y0 = – 1y ′0 (x – x0).

Угол между кривыми

Пусть две кривые y =  f 1 (x) и y =  f 2 (x) пересекаются в точке M0 (x0, y0),  y0 =  f 1 (x0) =  f 2 (x0). Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке M0 называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4)   tg φ = |  f  ′2(x0) –  f  ′1(x0)1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) |,   где 0 ≤ φ < π / 2.
Отсюда φ = arctg|  f  ′2(x0) –  f  ′1(x0)1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) |.
φ = π / 2   при 1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) = 0.
Вывод формулы ⇓

Определения

Секущая к графику функции.
Секущая S пересекает график функции y = f(x) как минимум в двух точках: M0 и M1.
Касательная к графику функции.
Уравнение касательной T получается из уравнения секущей S при M1 → M0.

Секущая
– это прямая, которая пересекает кривую как минимум в двух точках.
Касательная к графику функции
Пусть точки M0 = (x0, y0) и M1 = (x1, y1) принадлежат графику функции y =  f (x). Проведем через них секущую M0 M1. Касательной к графику функции y =  f (x) в точке x = x0 называется прямая, уравнение которой получается из уравнения секущей M0 M1 при x1 стремящемся к x0 независимо от того, x1 находится слева или справа от x0.
Наклонная касательная
– это касательная, угол α которой с осью абсцисс заключен в интервале – π2 < α < π2. Уравнение наклонной касательной в точке M0 (x0, y0) имеет вид:
y = y0 + k(x – x0),
где k = tg α – угловой коэффициент – действительное число.
Если функция y =  f (x) дифференцируема в x0, то угловой коэффициент равен производной в x0:
k = tg α =  f  ′(x0).
Вертикальная касательная
– это касательная, параллельная оси ординат. Уравнение вертикальной касательной имеет вид:
x = x0.
Касательная, нормаль, подкасательная, поднормаль
Касательная TM0, нормаль M0N, подкасательная TP, поднормаль PN.
Нормаль к графику функции
Нормалью к графику функции в точке M0 (x0, y0) называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
y – y0 = – 1k (x – x0).
Если функция имеет в точке x0 отличную от нуля производную y ′0 =  f  ′(x0), то уравнение нормали имеет следующий вид:
y – y0 = – 1y ′0 (x – x0).

Вывод последующих формул приводится в решении задачи 1

Отрезок касательной
Отрезком касательной называют отрезок TM0 между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой M0.
 | TM0 |  = | y0y ′0 | √ 1 + y ′ 20 .
Отрезок нормали
Отрезком нормали называют отрезок NM0 между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой M0.
 | NM0 |  =  | y0 |  √ 1 + y ′ 20 .
Подкасательная
Подкасательной называют отрезок TP между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки M0 на эту ось.
 | TP |  = | y0y ′0 |.
Поднормаль
Поднормалью называют отрезок PN между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки M0 на эту ось.
 | PN |  =  | y0 y ′0 | .
Угол между кривыми
Углом между кривыми в точке их пересечения M0 называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку M0.

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M0 (x0, y0) и M1 (x1, y1):
y – y0y1 – y0 = x – x0x1 – x0.
Направляющий вектор прямой: M0 M1 = (x1 – x0, y1 – y0).

Умножив это уравнение на (x1 – x0)(y1 – y0), получим уравнение прямой в другом виде:
(y1 – y0)(x – x0) – (x1 – x0)(y – y0) = 0.
Здесь  →n = (y1 – y0, – (x1 – x0)) – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов    →n   и    →r –  →r0 = (x – x0, y – y0).

Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0, y0) параллельно вектору  →a(ax, ay) имеет вид:
y – y0ay = x – x0ax.
Вектор  →a называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t:

{ 
x = x0 + ax t
y = y0 + ay t
 

Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0, y0) перпендикулярно вектору  →n(nx, ny) имеет вид:
nx (x – x0) + ny (y – y0) = 0.
Вектор  →n называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M0 (x0, y0):
y = y0 + k(x – x0).
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
tg α = k.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты k1 и k2 связаны соотношением:
k1 k2 = –1.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках (x1, 0),  (0, y1):
xx1 + yy1 = 1.

Примеры решений задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой y = x 2 в точке x0 = 1. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
x = 4t 21 + t 2,  y = 4t 31 + t 2, проведенных в точке t = t0 = 1. Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде x 3 + (x – 4)y 2 = 0. Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми y = 1 / x 4 и y = x 3 Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой y = x 2 в точке x0 = 1. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Решение

Находим значение функции при x0 = 1:
y0 = x 2 | x = x0 = x 20 = 1 2 = 1.

Находим производную:
y ′ = (x 2) ′ = 2x 2 – 1 = 2x 1 = 2x.
Находим производную в точке x0 = 1:
y ′0 = 2x | x = x0 = 2x0 = 2 ⋅ 1 = 2;
y ′0 = 2.

Находим уравнение касательной по формуле (1):
y – y0 = y ′0(x – x0);
y – 1 = 2(x – 1);
y – 1 = 2x – 2;
y = 2x – 1   – уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При x = 0,   y = 2x – 1 = 2 ⋅ 0 – 1 = –1;
при x = 1,  y = 2x – 1 = 2 ⋅ 1 – 1 = 1.
Проводим касательную через точки (0; –1) и (1; 1).

Касательная и нормаль к графику функции y=x^2 в точке (1;1)
Касательная и нормаль к графику функции y=x2 в точке M0(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (2):
tg α = y ′0.
Подставляем y ′0 = 2:
tg α = 2;
α = arctg 2 ≈ 63,43 ○.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
y – y0 = – 1y ′0 (x – x0);
y – 1 = – 12 (x – 1);
2(y – 1) =– (x – 1);
2y – 2 = –x + 1;
x + 2y – 3 = 0;
y = – 12 x + 32   – уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При x = 0,  y = – 12 x + 32 = – 12 ⋅ 0 + 32 = 32 = 1,5;
при x = 1,  y = – 12 x + 32 = – 12 ⋅ 1 + 32 = 1.
Проводим нормаль через точки (0; 1,5) и (1; 1).

Находим длину отрезка касательной TM0. Из прямоугольника TPM0 имеем:
 | TM0 |  = | M0 Psin α | = | y0sin α | = | y0tg α | √ 1 + tg 2 α  = | y0y ′0 | √ 1 + y ′ 20 .
Поясним использованную формулу. Поскольку –π / 2 < α < π / 2, то cos α > 0. Тогда
1sin α = cos αsin α √ 1cos 2 α  = 1tg α √ cos 2 α + sin 2 αcos 2 α  = 1tg α √ 1 + tg 2 α .
Подставляем y0 = 1, y ′0 = 2:
 | TM0 |  = | y0y ′0 | √ 1 + y ′ 20  = | 12 | √ 1 + 2 2  = √ 5 2.

Находим длину отрезка подкасательной TP. Из прямоугольника TPM0 имеем:
 | TP |  = | M0 Ptg α | = | y0y ′0 |.
Подставляем y0 = 1, y ′0 = 2:
 | TP |  = | y0y ′0 | = | 12 | = 12.

Находим длину отрезка нормали NM0. Поскольку TM0 ⊥NM0 и TP⊥PM0, то треугольники TPM0 и M0 PN подобны. Тогда NM0 P = α. Из прямоугольника M0 PN имеем:
 | NM0 |  = | M0 Pcos α | = | y0cos α | =  | y0 |  √ 1 + tg 2 α  = | y0 |  √ 1 + y ′ 20 .
Подставляем y0 = 1, y ′0 = 2:
 | NM0 |  =  | y0 |  √ 1 + y ′ 20  = 1 ⋅ √ 1 + 2 2  = √ 5 .

Находим длину отрезка поднормали NP. Из прямоугольника M0 PN имеем:
 | NP |  =  | M0 P ⋅ tg α |  =  | y0 y ′0 |  =  | 1 ⋅ 2 |  = 2.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
 | TM0 |  2 =  | TP |  2 +  | PM0 |  2 = (  | PM0 | tg α ) 2 +  | PM0 |  2 = ( y0y ′0 ) 2 + y 20 = y 20 1 + y ′ 20y ′ 20;
 | NM0 |  2 =  | M0 P |  2 +  | NP |  2 =  | M0 P |  2 + ( | M0 P | tg α) 2 = y 20 + (y0 y ′0) 2 = y 20 (1 + y ′ 20).

Ответ

Уравнение касательной: y = 2x – 1; уравнение нормали: x + 2y – 3 = 0;
длина отрезка касательной:  | TM0 |  = √ 5 2; длина отрезка нормали:  | NM0 |  = √ 5 ; длина подкасательной:  | TP |  = 12; длина поднормали:  | NP |  = 2.

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде x = 4t 21 + t 2,  y = 4t 31 + t 2, проведенных в точке t = t0 = 1.

Решение

Находим значения переменных при t = t0 = 1.
x0 = 4t 201 + t 20 = 4 ⋅ 1 21 + 1 2 = 2;
y0 = 4t 301 + t 20 = 4 ⋅ 1 31 + 1 2 = 2.
Обозначим эту точку как M0 (x0, y0).

Находим производные переменных x и y по параметру t.
(t 2) ′ = 2t 2 – 1 = 2t 1 = 2t;
(t 3) ′ = 3t 3 – 1 = 3t 2;
(1 + t 2) ′ = (1) ′ + (t 2) ′ = 0 + 2t = 2t;
x ′t = 4 (t 2) ′(1 + t 2) – t 2 (1 + t 2) ′(1 + t 2) 2 = 4 2t(1 + t 2) – t 2 ⋅ 2t(1 + t 2) 2 = 4 2t(1 + t 2) 2;
y ′t = 4 (t 3) ′(1 + t 2) – t 3 (1 + t 2) ′(1 + t 2) 2 = 4 3t 2 (1 + t 2) – t 3 ⋅ 2t(1 + t 2) 2 = 4 3t 2 + t 4(1 + t 2) 2.

Применяя правило дифференцирования параметрической функции, находим производную y по x.
y ′ = y ′tx ′t = 3t 2 + t 42t = 12 (3t + t 3).

Подставляя t = t0 = 1, находим производную y по x в точке M0.
y ′0 = 12 (3t0 + t 30) = 12 (3 ⋅ 1 + 1 3) = 2.

Касательная и нормаль к циссоиде
Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (1), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку M0 (x0, y0).
y – y0 = y ′0(x – x0);
y – 2 = 2(x – 2);
y – 2 = 2x – 4;
y = 2x – 2.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке M0 (x0, y0).
y – y0 = – 1y ′0 (x – x0);
y – 2 = – 12 (x – 2);
y – 2 = – 12 x + 1;
y = – 12 x + 3.

Ответ

Уравнение касательной: y = 2x – 2.
Уравнение нормали: y = – 12 x + 3.

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3)   x 3 + (x – 4)y 2 = 0,
проведенных в точке x = 2,  y = 2.

Решение

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x, считая, что y является функцией от x.
(x 3) ′ + ((x – 4)y 2) ′ = (0) ′;
3x 2 + (x – 4) ′y 2 + (x – 4)(y 2) ′ = 0;
3x 2 + ((x) ′ – (4) ′)y 2 + (x – 4) ⋅ dy 2dy ⋅ dydx = 0;
3x 2 + (1 – 0)y 2 + (x – 4)2yy ′ = 0.
Отсюда
y ′ = – 3x 2 + y 22(x – 4)y.

Находим производную в заданной точке, подставляя x = x0 = 2,  y = y0 = 2.
y ′0 = – 3x 20 + y 202(x0 – 4)y0 = – 3 ⋅ 2 2 + 2 22(2 – 4) ⋅ 2 = 2;
y ′0 = 2.

Находим уравнение касательной по формуле (1).
y – y0 = y ′0(x – x0);
y – 2 = 2(x – 2);
y – 2 = 2x – 4;
y = 2x – 2.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
y – y0 = – 1y ′0 (x – x0);
y – 2 = – 12 (x – 2);
y – 2 = – 12 x + 1;
y = – 12 x + 3.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Ответ

Уравнение касательной: y = 2x – 2.
Уравнение нормали: y = – 12 x + 3.

Пример 4

Найти угол между кривыми y = 1 / x 4 и y = x 3.

Решение

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

{ 
y = 1 / x 4
y = x 3
 

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
1x 4 = x 3;
(П4)   x 7 = 1.
Поскольку функция x 7 строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
x = 1 1 / 7 = 1.
При x = 1,  y = 1 / x 4 = 1 / 1 4 = 1. Кривые пересекаются в единственной точке x = 1, y = 1. Обозначим ее как M0 (x0, y0), где x0 = 1, y0 = 1.

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
 f 1 (x) = 1 / x 4,   f 2 (x) = x 3.
Найдем их производные.
 f  ′1(x) = (x –4) ′ = –4x –4 – 1 = –4x –5 = –4 / x 5;
 f  ′2(x) = (x 3) ′ = 3x 3 – 1 = 3x 2.
Найдем значения производных в точке M0, подставляя x = x0 = 1.
 f  ′1(x0) = –4 / x 50 = –4 / 1 5 = –4;
 f  ′2(x0) = 3x 20 = 3 ⋅ 1 2 = 3.

По формуле (4) находим:
tg φ = |  f  ′2(x0) –  f  ′1(x0)1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) | = | 3 – (–4)1 + (–4) ⋅ 3 | = | 7–11 | = 711;
φ = arctg 711 ≈ 32,47 ○.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Ответ

φ = 32,47 ○.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример, в котором  f 1 (x) = 1 /x 4,   f 2 (x) = x 3,   x0 = 1,  y0 = 1.

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями y =  f 1 (x) и y =  f 2 (x), и пересекающиеся в некоторой точке M0 (x0, y0). Докажем, что угол φ между кривыми определяется по формуле (4):
tg φ = |  f  ′2(x0) –  f  ′1(x0)1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) |,   где 0 ≤ φ < π / 2.
Или φ = arctg|  f  ′2(x0) –  f  ′1(x0)1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) |;
φ = π / 2   при 1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) = 0.

Доказательство

Угол между кривыми равен наименьшему углу между касательными.
Угол между кривыми равен наименьшему углу между касательными.

Проведем касательные к графикам функций в точке M0. Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как α1 и α2. За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке α1 < 0,  α2 > 0. Считаем, что значения углов принадлежат интервалам –π / 2 < α1 < π / 2,   –π / 2 < α2 < π / 2. Согласно геометрическому смыслу производной,
tg α1 =  f  ′1(x0),  tg α2 =  f  ′2(x0).

Найдем разность углов
Δα = α2 – α1.
Поскольку –π / 2 < α1 < π / 2,   –π / 2 < α2 < π / 2, то
–π < Δα < π.
Используем формулу разности тангенсов:
tg Δα = tg(α2 – α1) = tg α2 – tg α11 + tg α1 ⋅ tg α2 =  f  ′2(x0) –  f  ′1(x0)1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0);
(Ф1)   tg Δα =  f  ′2(x0) –  f  ′1(x0)1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0).

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если  | Δα |  ≤ π / 2, то φ = | Δα | ;
если  | Δα |  > π / 2, то φ = π – | Δα | .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться в пределах
(Ф2)   0 ≤ φ ≤ π / 2.

На рисунке угол между лучами M0 A и M0 B больше 90°, а между лучами M0 B и M0 C – меньше 90°. Поэтому φ =BM0 C = π –AM0 B = π – | Δα | .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
β = arctg tg β, которое выполняется при –π / 2 < β < π / 2.
Тогда в силу (Ф2),
φ = arctg tg φ.
Случай φ = π / 2 мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть  | Δα |  < π / 2.
Тогда угол между прямыми φ = | Δα | . И мы имеем:
φ = arctg tg φ = arctg tg | Δα |  = arctg | tg Δα |  = arctg|  f  ′2(x0) –  f  ′1(x0)1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) |.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть π / 2 < | Δα |  < π.
Тогда φ = π – | Δα | ;   tg | Δα |  < 0. Поэтому –tg | Δα |  > 0. Это можно записать так: –tg | Δα |  =  | tg Δα | . Также применим формулу: tg(π – β) = –tg β. В результате получаем:
φ = arctg tg φ = arctg tg(π – | Δα | ) = arctg(–tg | Δα | ) =
 arctg | tg Δα |  = arctg|  f  ′2(x0) –  f  ′1(x0)1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) |.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть φ = | Δα |  = π / 2. В этом случае касательные взаимно перпендикулярны, а их угловые коэффициенты связаны соотношением: k1 ⋅ k2 = –1, или 1 + k1 ⋅ k2 = 0. Заменив угловые коэффициенты производными, получим:
1 +  f  ′1(x0) ⋅  f  ′2(x0) = 0,
что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

См. также:
▲
Меню