Таблица производных элементарных функций

Представлена таблица производных элементарных функций для обучающихся студентов. Приводится таблица производных сложных функций. Даны основные правила дифференцирования.

Таблица производных элементарных функций

Ниже приводится таблица производных элементарных функций в наиболее удобном для запоминания виде. Подразумевается, что дифференцирование осуществляется по переменной x.
C и a являются постоянными; m и n – целые числа.

(C)^′ = 0;
( x^a )^′ = ax^a – 1;
( ⁿ√ x^m  )^′ = ( x^m / n )^′ = mn x^mn – 1 = mn ⁿ√ x^m – n ;
( e^x )^′ = e^x;
( a^x )^′ = a^x ln a;
( ln x )^′ = 1x;   ( ln | x |  )^′ = 1x;
( log_a x )^′ = 1x ln a;   ( log_a | x |  )^′ = 1x ln a;
( sin x )^′ = cos x;
( cos x )^′ = –sin x;
( tg x )^′ = 1cos² x;
( ctg x )^′ = – 1sin² x;
( arcsin x )^′ = 1√ 1 – x² ;
( arccos x )^′ = (  π2 – arcsin x )^′ = – 1√ 1 – x² ;
( arctg x )^′ = 11 + x²;
( arcctg x )^′ = (  π2 – arctg x )^′ = – 11 + x²;

Таблица производных гиперболических функций

( sh x )^′ = ch x;
( ch x )^′ = sh x;
( th x )^′ = 1ch² x;
( cth x )^′ = – 1sh² x;
( arsh x )^′ = ( ln( x + √ x² + 1  ) )^′ = 1√ x² + 1 ;
( arch x )^′ = ( ln( x + √ x² – 1  ) )^′ = 1√ x² – 1 ;
( arth x )^′ = (  12 ln 1 + x1 – x  )^′ = 11 – x²;
( arcth x )^′ = (  12 ln x + 1x – 1  )^′ = 11 – x².

Таблица производных сложных функций

Далее приводится таблица производных сложных функций. Эта таблица объединяет правило дифференцирования сложной функции и таблицу производных элементарных функций. Здесь u есть функция от x. Мы можем найти производную любой функции, применяя правила дифференцирования и эту таблицу.

Например,
( e^{5 sin x + cos x + 2} )^′ = ( e^u )^′ = e^{5 sin x + cos x + 2} ⋅ (5 sin x + cos x + 2)^′ =
 e^{5 sin x + cos x + 2} ⋅ ((5 sin x)^′ + (cos x)^′ + (2)^′) = e^{5 sin x + cos x + 2} ⋅ (5(sin x)^′ – sin x + 0) =
 e^{5 sin x + cos x + 2} ⋅ (5 cos x – sin x).

(C)^′ = 0;
( u^a )^′ = au^a – 1 ⋅ u^′;
( ⁿ√ u^m  )^′ = ( u^m / n )^′ = mn u^mn – 1 ⋅ u^′ = mn ⁿ√ u^m – n  ⋅ u^′;
( e^u )^′ = e^u ⋅ u^′;
( a^u )^′ = a^u ⋅ ln a ⋅ u^′;
( ln u )^′ = 1u ⋅ u^′;
( log_a u )^′ = 1u ln a ⋅ u^′;
( sin u )^′ = cos u ⋅ u^′;
( cos u )^′ = –sin u ⋅ u^′;
( tg u )^′ = 1cos² u ⋅ u^′;
( ctg u )^′ = – 1sin² u ⋅ u^′;
( arcsin u )^′ = 1√ 1 – u²  ⋅ u^′;
( arccos u )^′ = – 1√ 1 – u²  ⋅ u^′;
( arctg u )^′ = 11 + u² ⋅ u^′;
( arcctg u )^′ = – 11 + u² ⋅ u^′;
( sh u )^′ = ch u ⋅ u^′;
( ch u )^′ = sh u ⋅ u^′;
( th u )^′ = 1ch² u ⋅ u^′;
( cth u )^′ = – 1sh² u ⋅ u^′;
( arsh u )^′ = ( ln( u + √ u² + 1  ) )^′ = 1√ u² + 1  ⋅ u^′;
( arch u )^′ = ( ln( u + √ u² – 1  ) )^′ = 1√ u² – 1  ⋅ u^′;
( arth u )^′ = (  12 ln 1 + u1 – u  )^′ = 11 – u² ⋅ u^′;
( arcth u )^′ = (  12 ln u + 1u – 1  )^′ = 11 – u² ⋅ u^′.

Основные правила дифференцирования

Здесь y,  u и v являются функциями от переменной x; C – постоянная.

(C)^′ = 0;
( Cu )^′ = Cu^′;
( u + v )^′ = u^′ + v^′;
( uv )^′ = u^′v + uv^′;
( uv )^′ = u^′v – uv^′v²;
dydx = df du ⋅ dudx,   где y(x) =  f (u(x));
dydx = 1 dxdy ;
y^′ = y ( ln y )^′;
( u^v )^′ = vu^v – 1 u^′ + u^v v^′ ln u;
dydx =  dydt  dxdt ,   где x = x(t),  y = y(t);
dydx = – ∂F∂x∂F∂y,   где F(x, y) = 0;
(uv)⁽ⁿ⁾ = ⁿΣ_k = 0 n!(n – k)!k! u^{(n – k)} v^(k);
( a^x )⁽ⁿ⁾ = a^x  lnⁿ a;
( sin x )⁽ⁿ⁾ = sin( x + nπ2 );
( cos x )⁽ⁿ⁾ = cos( x + nπ2 );
( x^m )⁽ⁿ⁾ = m (m – 1) ...   (m – n + 1) x^m – n;
( ln x )⁽ⁿ⁾ = (–1)^n – 1 (n – 1)!xⁿ.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 11-10-2016   Изменено: 05-09-2022