Производные второго и высших порядков – основные формулы, определения и теоремы
Определения
Поскольку производная f ′(x) сама является функцией от переменной x, то можно дать определение производной от производной, которая называется производной второго порядка.
- Производная второго порядка функции
- Пусть для функции f (x), в окрестности некоторой точки x0, определена ее производная f ′(x). И пусть f ′(x) имеет производную в этой точке.
Второй производной функции f (x) в точке x0 называется производная от первой производной в этой точке:
f ′′(x0) = limΔx → 0 f ′(x0 + Δx) – f ′(x0)Δx.
Вторую производную также называют производной второго порядка функции. - Производная n-го порядка функции
- Пусть для функции f (x), в окрестности некоторой точки x0, определена ее n–1-я производная f (n – 1) (x). И пусть функция f (n – 1) (x) имеет производную в этой точке.
n-й производной функции f (x) в точке x0 называется производная от n-1-й производной в этой точке:
f (n) (x0) = limΔx → 0 f (n – 1) (x0 + Δx) – f (n – 1) (x0)Δx.
n-ю производную также называют производной n-го порядка функции или производной порядка n функции. - n раз дифференцируемая функция
- n раз дифференцируемой функцией на множестве X называется функция, имеющая в каждой точке множества X производную n-го порядка (и, следовательно, имеющая производные всех порядков меньших n).
Обозначения
Производная функции y = f (x) второго порядка может обозначаться так:
y ′′, y ′′xx, yxx, d 2 ydx 2, f ′′(x), d 2 f dx 2 (x).
Третьего порядка:
y ′′′, y ′′′xxx, yxxx, d 3 ydx 3, f ′′′(x), d 3 f dx 3 (x).
Для производных более высоких порядков вместо штрихов используются римские цифры. Например, для четвертого порядка:
y IV, d 4 ydx 4, f IV (x), d 4 f dx 4 (x).
Для произвольного n-го порядка:
y (n), d n ydx n, f (n) (x), d n f dx n (x).
При этом стоит иметь в виду, что обозначение d n ydx n является принятым сокращением, под которым подразумевают следующее:
d n ydx n ≡ d n y(dx) n ≡ ( ddx ) n y ≡ ddx ( ddx (⋅ ⋅ ⋅( dydxn раз)⋅ ⋅ ⋅)).
Арифметические свойства
Теорема. Высшие производные суммы функций
Пусть функции f 1 (x) и f 2 (x) имеют производные f (n)1 (x0), f (n)2 (x0) n–го порядка в точке x0.И пусть C1 и C2 – постоянные, не зависящие от x величины.
Тогда любая функция вида
(1) y = C1 f 1 (x) + C2 f 2 (x)
имеет в точке x0 n–ю производную:
y (n) = C1 f (n)1 (x0) + C2 f (n)2 (x0).
Для доказательства нужно продифференцировать (1) n раз, применяя правило вынесения постоянной за знак производной и формулу производной суммы функций.
При f 2 = 0 получаем правило вынесения постоянной за знак n-ой производной:
(Cf (x)) (n) = Cf (n) (x).
Теорема. Высшие производные произведения функций (формула Лейбница)
Пусть функции f 1 (x) и f 2 (x) имеют производные f (n)1 (x0), f (n)2 (x0) n–го порядка в точке x0.Тогда произведение функций
(2) y = f 1 (x) ⋅ f 2 (x)
имеет в точке x n–ю производную, которая определяется по формуле:
( f 1 ⋅ f 2) (n) = nΣk = 0 n!(n – k)!k! f (n – k)1 f (k)2 = f (n)1 + nf (n – 1)1 f ′2 + n(n – 1)2 f (n – 2)1 f ′′2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f (n)2.
Эту формулу также можно выразить через биномиальные коэффициенты C kn = n!(n – k)! k!:
( f 1 ⋅ f 2) (n) = nΣk = 0 C kn f (n – k)1 f (k)2.
Здесь подразумевается, что f (0)1 (x0) = f 1 (x0), f (0)2 (x0) = f 2 (x0).
Доказательство формулы Лейбница двумя способами
В более общем случае произведения m функций, формула Лейбница имеет следующий вид:
( f 1 ⋅ f 2 ⋅ ⋅ ⋅ f m) (n) = ΣΣ ki = n n!k1 !k2 !⋅ ⋅ ⋅km ! f (k1)1 ⋅ f (k2)2 ⋅ ⋅ ⋅ f (km)m.
Суммирование ведется по всем возможным целым неотрицательным значениям k1, k2, . . .km, сумма которых равна n.
Высшие производные частного функций
Для частного функций
(3) y = f 1 (x) f 2 (x)
нет такой формулы, позволяющей находить высшие производные в общем виде. Их можно находить последовательным дифференцированием, применяя формулу производной частного, либо рассматривая дробь как произведение двух функций y = f 1 (x) ⋅ 1 f 2 (x). Также можно умножить (3) на f 2 (x), и последовательно вычислять производные, дифференцируя произведения:
y ⋅ f 2 (x) = f 1 (x);
(y ⋅ f 2 (x)) ′ = f ′1 (x);
(y ⋅ f 2 (x)) ′′ = f ′′1 (x);
· · ·
Высшие производные сложной функции
Здесь мы получим формулу, которая имеет применение при дифференцирования одного распространенного частного случая сложной функции:
(4) ( f (ax + b)) (n) = a n f (n) (ax + b).
Производная в левой части берется по переменной x; производная f (n) – по аргументу функции f .
Рассмотрим сложную функцию
(5) y = F(x) = f (t(x)).
Введем переменную t = t(x). Тогда (5) можно представить в следующем виде:
y = f (t), где t = t(x).
Найдем ее производную, применяя правило дифференцирования сложной функции:
y ′ ≡ dydx = dydt ⋅ dtdx = df dt ⋅ dtdx = f ′t ⋅ t ′x;
(6) F ′(x) = f ′t ⋅ t ′x.
Дифференцируя (6), находим вторую производную.
( f ′t) ′x ≡ df ′tdx = df ′tdt ⋅ dtdx = f ′′tt ⋅ t ′x;
F ′′(x) = (F ′(x)) ′x = ( f ′t ⋅ t ′x ) ′x = ( f ′t) ′x ⋅ t ′x + f ′t ⋅ (t ′x) ′x = f ′′tt ⋅ t ′x ⋅ t ′x + f ′t ⋅ t ′′xx;
F ′′(x) = f ′′tt ⋅ (t ′x) 2 + f ′t ⋅ t ′′xx.
Здесь функции F и t зависят от переменной x. Поэтому их производные по умолчанию берутся по x. Функция f зависит от t. Поэтому и ее производная – по переменной t. Опуская лишние индексы, получим более короткую запись:
F ′′(x) = f ′′ ⋅ (t ′) 2 + f ′ ⋅ t ′′.
Третья производная:
F ′′′(x) = (F ′′(x)) ′x = ( f ′′ ⋅ (t ′) 2) ′x + ( f ′ ⋅ t ′′) ′x =
( f ′′) ′x ⋅ (t ′) 2 + f ′′ ⋅ ((t ′) 2) ′x + ( f ′) ′x ⋅ t ′′ + f ′ ⋅ (t ′′) ′x =
df ′′dt ⋅ dtdx ⋅ (t ′) 2 + f ′′ ⋅ d(t ′) 2dt ′ ⋅ dt ′dx + df ′dt ⋅ dtdx ⋅ t ′′ + f ′ ⋅ t ′′′ =
f ′′′ ⋅ t ′ ⋅ (t ′) 2 + f ′′ ⋅ 2t ′ ⋅ t ′′ + f ′′ ⋅ t ′ ⋅ t ′′ + f ′ ⋅ t ′′′;
F ′′′(x) = f ′′′ ⋅ (t ′) 3 + 3 f ′′ ⋅ t ′ ⋅ t ′′ + f ′ ⋅ t ′′′.
Если продолжим, то получим более громоздкие формулы. Разберем только один важный случай, когда функция t линейна по переменной x, то есть определяется по формуле:
t = ax + b,
где a и b – постоянные. Тогда t ′ = a; и все производные от t второго и более высоких порядков равны нулю. Поэтому выражение для производной произвольного n-го порядка имеет вид:
F (n) (x) = a n f (n) (t), t = ax + b.
Эту формулу можно представить в более удобном для восприятия виде:
( f (ax + b)) (n) = a n f (n) (ax + b).
Подчеркнем, что производная в левой части берется по переменной x. Производная в правой части – по аргументу функции f , то есть по t = ax + b, а не по x.
Формулы производных высших порядков элементарных функций
При вычислении производных часто используют следующие формулы производных n-го порядка.
( x m ) (n) = m (m – 1)⋅ ⋅ ⋅ (m – n + 1) x m – n степенной функции
( e x ) (n) = e x; ( a x ) (n) = a x ln n a показательной функции
( ln x ) (n) = (–1) n – 1 (n – 1)!x n натурального логарифма
( sin x ) (n) = sin( x + nπ2 ) синуса
( cos x ) (n) = cos( x + nπ2 ) косинуса
Применяя (4), эти формулы n-х производных по переменной x можно переписать так:
( (ax + b) m ) (n) = a n m (m – 1)⋅ ⋅ ⋅ (m – n + 1)(ax + b) m – n;
( e ax + b ) (n) = a n e ax + b; ( c ax + b ) (n) = c ax + b (a ln c) n;
( ln(ax + b) ) (n) = (–1) n – 1 a n (n – 1)!(ax + b) n;
( sin(ax + b) ) (n) = a n sin( ax + b + nπ2 );
( cos(ax + b) ) (n) = a n cos( ax + b + nπ2 ).
Производные высших порядков некоторых элементарных функций имеют довольно громоздкий вид. Далее приводятся их формулы для справок.
y (n) = [ ( 1 + y 2 ) ddy ] n y, где y = tg x тангенса
y (n) = (–1) n [ ( 1 + y 2 ) ddy ] n y, где y = ctg x котангенса
(arcsin x ) (n) = pn (x)( 1 – x 2 ) n – 12,
где pn (x) – многочлен степени n – 1. Он определяется по формулам:
p2m + 1 (x) = A [1 + mΣk = 1 (m!) 2(2k)!( (m – k)! ) 2 (2x) 2k];
p2m (x) = Ax [1 + m – 1Σk = 1 ((m – 1)!) 2(2k + 1)!( (m – k – 1)! ) 2 (2x) 2k].
Здесь A = [1 ⋅ 3 ⋅ 5⋅ ⋅ ⋅(2m – 1)] 2 ≡ [(2m – 1)!!] 2
(arccos x ) (n) = –(arcsin x ) (n) арксинуса и арккосинуса
(arctg x) (n) = (–1) n + 1 (n – 1)! ⋅ Im (x + i) n(1 + x 2) n
(arcctg x) (n) = –(arctg x) (n) = (–1) n (n – 1)! ⋅ Im (x + i) n(1 + x 2) n арктангенса и арккотангенса
Использованная литература:
А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: