Правила дифференцирования - основные формулы вычисления производных

В кратком виде даны правила дифференцирования (формулы вычисления производных). Ссылки на страницы с подробным описанием выбранного правила.

Принятые обозначения

Далее мы полагаем, что дифференцирование выполняется по независимой переменной x. u и v обозначают функции от этой переменной:
u = u(x);
v = v(x).
Предполагается, что они дифференцируемы при заданных значениях x.
C – это постоянная величина, не зависящая от x.

Производная постоянной

(C)^′ = 0;
( Cu )^′ = Cu^′.

Производная суммы и разности

( u ± v )^′ = u^′ ± v^′.

Производная произведения

( uv )^′ = u^′v + uv^′
Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций:
(uv)⁽ⁿ⁾ = ⁿΣ_k = 0 n!(n – k)!k! u^{(n – k)} v^(k).     Доказательство и пример

Производная дроби

( uv )^′ = u^′v – uv^′v².

Производная сложной функции

Пусть   y =  f (x) = g(u(x)).   Тогда
dydx = dydu ⋅ dudx.
Пусть   y =  f (x) = g(u(x), v(x)).   Тогда
dydx = ∂y∂u ⋅ dudx + ∂y∂v ⋅ dvdx.
Доказательство     Примеры

Производная обратной функции

dydx = 1 dxdy .

Логарифмическая производная

( ln y )^′ = 1y y^′;
y^′ = y ( ln y )^′.
Производная степенно-показательной функции
( u^v )^′ = vu^v – 1 u^′ + u^v v^′ ln u.

Производные высших порядков

(uv)⁽ⁿ⁾ = ⁿΣ_k = 0 n!(n – k)!k! u^{(n – k)} v^(k);
( a^x )⁽ⁿ⁾ = a^x  lnⁿ a;
( sin x )⁽ⁿ⁾ = sin( x + nπ2 );
( cos x )⁽ⁿ⁾ = cos( x + nπ2 );
( x^m )⁽ⁿ⁾ = m (m – 1) ...   (m – n + 1) x^m – n;
( ln x )⁽ⁿ⁾ = (–1)^n – 1 (n – 1)!xⁿ.

Производная функции, заданной параметрическим способом

x = x(t);  y = y(t);
dydx =  dydt  dxdt .

Производная неявной функции

Пусть зависимость y от x задана уравнением
F(x, y) = 0.
Дифференцируя это уравнение по переменной x, имеем:
∂F∂x + ∂F∂y ⋅ dydx = 0.
Отсюда
dydx = – ∂F∂x∂F∂y.
Продолжая дифференцирование, можно найти производные высших порядков.

Производные элементарных функций

Здесь C и a являются постоянными; m и n – целые числа.

(C)^′ = 0;
( x^a )^′ = ax^a – 1;
( ⁿ√ x^m  )^′ = ( x^m / n )^′ = mn x^mn – 1 = mn ⁿ√ x^m – n ;
( e^x )^′ = e^x;
( a^x )^′ = a^x ln a;
( ln x )^′ = 1x;     ( ln | x |  )^′ = 1x;
( log_a x )^′ = 1x ln a;     ( log_a | x |  )^′ = 1x ln a;
( sin x )^′ = cos x;
( cos x )^′ = –sin x;
( tg x )^′ = 1cos² x;
( ctg x )^′ = – 1sin² x;
( arcsin x )^′ = 1√ 1 – x² ;
( arccos x )^′ = – 1√ 1 – x² ;
( arctg x )^′ = 11 + x²;
( arcctg x )^′ = – 11 + x²;
( sh x )^′ = ch x;
( ch x )^′ = sh x;
( th x )^′ = 1ch² x;
( cth x )^′ = – 1sh² x;
( arsh x )^′ = ( ln( x + √ x² + 1  ) )^′ = 1√ x² + 1 ;
( arch x )^′ = ( ln( x ± √ x² – 1  ) )^′ = ± 1√ x² – 1 ;
( arth x )^′ = (  12 ln 1 + x1 – x  )^′ = 11 – x²;
( arcth x )^′ = (  12 ln x + 1x – 1  )^′ = 11 – x².

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 11-10-2016