Геометрический смысл производной

Проведен анализ геометрического смысла производной. Выявлено, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в рассматриваемой точке. Рассмотрены случаи, когда производная равна бесконечности.

Теорема

1. Если существует конечная производная функции в точке ,
то график функции имеет наклонную касательную в , тангенс угла которой с осью абсцисс равен производной: . Угол считается положительным, если график касательной возрастает; угол отрицательный – если убывает. Другими словами, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной графика функции в точке , а уравнение касательной имеет вид:
.
2. Если производная функции в точке равна бесконечности: ,
то в этой точке график имеет вертикальную касательную, описываемую уравнением
.
Доказательство

Исследование геометрического смысла производной

Исследуем геометрический смысл производной функции при некотором, заранее заданном значении аргумента . Считаем, что функция имеет конечную производную в . Тогда существует окрестность точки , в которой функция определена и имеет конечные значения. Проводим оси координат. По оси абсцисс будем откладывать значения переменной x; по оси ординат – значения переменной y. Строим график функции в окрестности точки .

Отмечаем точку , где . Выбираем на графике произвольную точку , где .

Проводим через и секущую . Далее через проводим прямую, параллельную оси x, а через – параллельную оси y. Точку пересечения этих прямых обозначим как A.

Треугольник – прямоугольный. Пусть α – угол между сторонами и . Тогда
.
Но . Отсюда
(1)   .
Поскольку прямая параллельна оси x, то угол α является углом между секущей и осью абсцисс x.

Теперь выполним предельный переход . При таком переходе точка будет стремиться к , приближаясь к ней сколь угодно близко. Сама секущая также будет меняться, поворачиваясь вокруг точки . При она будет стремиться к некоторой предельной прямой, которая называется касательной к графику в точке . Угол наклона α касательной определяется из (1), устремляя . Воспользовавшись определением производной, имеем:
.
Таким образом, производная функции в точке равна тангенсу угла между касательной, проведенной через эту точку, и осью абсцисс.

Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом , и проходящей через точку имеет вид:
.
Подставляя , получаем уравнение касательной к графику в точке :
.

Доказательство

Возьмем на графике функции произвольную точку , отличную от . Здесь . Проведем через точки и прямую, которая является секущей. Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки:
(Т1)   .
Считаем, что и – постоянные, то есть заранее заданные числа. Выполняем предельный переход . Применим определение производной:
;
(Т2)   .

Мы видим, что при , график секущей (Т1) преобразуется в прямую (Т2), которая является касательной. Как видно из (Т2), касательная является прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом, равным производной функции в . Из аналитической геометрии известно, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла α между осью абсцисс и этой прямой. Тогда:
.

2. Пусть в точке производная функции равна бесконечности: .

Перепишем (Т1) и выполним предельный переход, воспользовавшись свойством бесконечно большой функции.
;
;
.
Это уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ординат.

Теорема доказана.

Производная равна бесконечности

Если производная в равна бесконечности, то касательная вертикальна, но возможны три случая: 1) Производная равна плюс бесконечности: ; 2) производная равна минус бесконечности: ; 3) производная равна бесконечности без определенного знака: .

1) Если производная равна плюс бесконечности: , то угол между осью абсцисс и любой секущей, проходящей через точку положителен: , и стремится к при . Здесь подразумевается, что вторая точка графика , через которую проходит секущая, расположена достаточно близко к .

2) Если производная равна минус бесконечности: , то угол между осью абсцисс и любой секущей, проходящей через точку отрицателен: , и стремится к при .

3) Если производная равна бесконечности без определенного знака: , то углы наклона секущих, проходящих через вторую точку слева и справа от , имеют разные знаки.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 22-04-2021   Изменено: 10-06-2024