Вывод производных арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′
Производная по переменной x от арксинуса x равна единице, деленной на квадратный корень от один минус x в квадрате:
(arcsin x) ′ = 1√ 1 – x 2 .
Производная по переменной x от арккосинуса x равна минус производной от арксинуса. То есть она равна минус единице, деленной на квадратный корень от один минус x в квадрате:
(arccos x) ′ = – 1√ 1 – x 2 .
Для вывода этих формул мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса:
(sin x)′ = cos x; (cos x)′ = – sin x.
Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.
Вывод производной арксинуса
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
y = arcsin x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
–1 ≤ x ≤ 1.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
– π2 ≤ y ≤ π2.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin y.
Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1) dydx = 1dxdy.
Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
dydx ≡ (sin x) ′ = cos x.
Здесь y = sin x.
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
dxdy = cos y,
где x = sin y.
Подставим в формулу (1):
(2) dydx = 1cos y.
Здесь
y = arcsin x;
x = sin y.
Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого заметим, что поскольку – π2 ≤ y ≤ π2, то cos y ≥ 0. Тогда
cos y = | cos y | = √ cos 2 y = √ 1 – sin 2 y ≡ √ 1 – (sin y) 2 = √ 1 – x 2 .
Подставим в формулу (2):
dydx = 1√ 1 – x 2 .
Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
(arcsin x) ′ = 1√ 1 – x 2 .
Второй способ
Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3) sin(arcsin x) = x.
Здесь –1 ≤ x ≤ 1.
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4) (sin(arcsin x)) ′ = (x ) ′.
Производную правой части находим из таблицы производных:
(x) ′ = ( x 1 ) ′ = 1 ⋅ x 1 – 1 = x 0 = 1.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
(sin(arcsin x)) ′ = (sin y ) ′x = (sin y ) ′y ⋅ y ′x = cos y ⋅ (arcsin x) ′.
Здесь y = arcsin x.
Поскольку – π2 ≤ y ≤ π2, то cos y ≥ 0. Поэтому
cos y = | cos y | = √ cos 2 y = √ 1 – sin 2 y ≡ √ 1 – (sin y) 2 = √ 1 – x 2 .
Тогда
(sin(arcsin x)) ′ = cos y ⋅ (arcsin x) ′ = √ 1 – x 2 ⋅ (arcsin x) ′.
Подставим в (4):
√ 1 – x 2 ⋅ (arcsin x) ′ = 1.
Отсюда
(arcsin x) ′ = 1√ 1 – x 2 .
Вывод производной арккосинуса
Используя связь между арксинусом и арккосинусом
Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом:
arccos x = π2 – arcsin x.
Отсюда
(arccos x) ′ =– (arcsin x) ′ = – 1√ 1 – x 2 .
По формуле производной обратной функции
Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.
Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
–1 ≤ x ≤ 1.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
0 ≤ y ≤ π.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos y.
Применим формулу производной обратной функции:
(1) dydx = 1dxdy.
Производная косинуса нам известна:
dydx ≡ (cos x) ′ = –sin x.
Здесь y = cos x.
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
dxdy = –sin y,
где x = cos y.
Подставим в формулу (1):
(5) dydx = – 1sin y.
Здесь
y = arccos x;
x = cos y.
Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Поскольку 0 ≤ y ≤ π, то sin y ≥ 0. Тогда
sin y = | sin y | = √ sin 2 y = √ 1 – cos 2 y ≡ √ 1 – (cos y) 2 = √ 1 – x 2 .
Подставим в формулу (5):
dydx = – 1√ 1 – x 2 .
Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
(arccos x) ′ = – 1√ 1 – x 2 .
Второй способ
Поскольку арккосинус и косинус являются взаимно обратными функциями, то
(6) cos(arccos x) = x.
Здесь –1 ≤ x ≤ 1.
Продифференцируем это уравнение по переменной x:
(7) (cos(arccos x)) ′ = (x ) ′.
Из таблицы производных находим:
(x) ′ = ( x 1 ) ′ = 1 ⋅ x 1 – 1 = x 0 = 1.
Производную левой части найдем по формуле производной сложной функции:
(cos(arccos x)) ′ = (cos y ) ′x = (cos y ) ′y ⋅ y ′x = –sin y ⋅ (arccos x) ′.
Здесь y = arccos x.
Поскольку 0 ≤ y ≤ π, то sin y ≥ 0. Поэтому
sin y = | sin y | = √ sin 2 y = √ 1 – cos 2 y ≡ √ 1 – (cos y) 2 = √ 1 – x 2 .
Тогда
(cos(arccos x)) ′ = –sin y ⋅ (arccos x) ′ = – √ 1 – x 2 ⋅ (arccos x) ′.
Подставим в (7):
– √ 1 – x 2 ⋅ (arccos x) ′ = 1.
Отсюда
(arccos x) ′ = – 1√ 1 – x 2 .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: