Доказательство непрерывности тригонометрических функций

Лемма 1

Рассмотрим случай 0 ≤ α < π / 2.
Пусть точки A и B лежат на окружности с центром в точке C (см. рисунок). Тогда угол α между сторонами AC и BC есть отношение длины дуги окружности ADB к радиусу  | AC |  =  | BC | :
α = ADB | AC | .
Из точки A опустим перпендикуляр AH на BC. Тогда
sin α =  | AH |  | AC | .

Для упрощения расчетов мы возьмем окружность с радиусом, равным единице:  | AC |  =  | BC |  = 1. Тогда
(1.2)    | AH |  = sin α,  ADB = α.
Из прямоугольника ABH имеем:
 | AH |  = √  | AB | ² –  | BH | ²  ≤  | AB | .
Поскольку длина отрезка |AB| является кратчайшим расстоянием между точками A и B, то
 | AB |  ≤ ADB.
Из двух последних неравенств,
(1.3)    | AH |  ≤ ADB.
Подставляем (1.2):
sin α ≤ α.
Знак равенства получается только при α = 0.

При отрицательных значениях –π / 2 < α ≤ 0,
 | AH |  =  | sin α | ,  ADB =  | α | .
Эти выражения справедливы и для положительных значений 0 ≤ α < π / 2. Подставляя в (1.3), при  | α |  < π / 2 имеем:
 | sin α |  ≤  | α | .
Поскольку  | sin α |  ≤ 1 и π / 2 > 1, то это неравенство справедливо для всех α.

Лемма доказана.

Лемма 2

Доказательство для синуса.
Используем неравенство (1.1):
(1.1)    | sin α |  ≤  | α | .
Перепишем его в следующем виде:
 –  | α |  ≤ sin α ≤  | α | .
Заметим, что lim_α → 0 | α |  = 0  и  lim_α → 0(– | α | ) = 0. Применяя теорему о промежуточной функции, получаем:
lim_α → 0 sin α = 0.

Доказательство для косинуса.
При достаточно малых |α|, cos α > 0. Поэтому
cos α = √ 1 – sin² α  = ( 1 – (sin α)² )^1 / 2.

Функция y = x² определена и непрерывна для всех x (см. Непрерывность и свойства степенной функции, Свойства степенных функций с различными значениями показателя степени). Тогда по теореме о пределе непрерывной функции от функции, имеющей предел, имеем:
lim_α → 0(sin α)² = ( lim_α → 0 sin α )² = 0² = 0.

Применим арифметические свойства непрерывных функций:
lim_α → 0( 1 – (sin α)² ) = lim_α → 0 1 – lim_α → 0(sin α)² = 1 – 0 = 1.

Степенная функция z = t^1 / 2 определена и непрерывна при t ≥ 0. В частности, она непрерывна в точке t = 1. Применяя вышеупомянутую теорему о пределе непрерывной функции от функции, имеем:
lim_α → 0 cos α = lim_α → 0( 1 – (sin α)² )^1 / 2 = ( lim_α → 0( 1 – (sin α)² ) )^1 / 2 = 1^1 / 2 = 1.

Лемма доказана.

Теорема о непрерывности тригонометрических функций

Непрерывность синуса и косинуса

См. также «Синус и косинус – свойства, графики, формулы»

Применим определение непрерывности функции в терминах приращений. Нам нужно показать, что
lim_{Δx → 0} sin(x + Δx) = sin x.
Применим арифметические свойства предела функции, пределы, вычисленные в лемме 2 ⇑, и тригонометрические формулы:
lim_{Δx → 0} sin(x + Δx) = lim_{Δx → 0}(sin x ⋅ cos Δx + cos x ⋅ sin Δx) =
 sin x ⋅ lim_{Δx → 0} cos Δx + cos x ⋅ lim_{Δx → 0} sin Δx = sin x ⋅ 1 + cos x ⋅ 0 = sin x.

Аналогично для косинуса:
lim_{Δx → 0} cos(x + Δx) = lim_{Δx → 0}(cos x ⋅ cos Δx – sin x ⋅ sin Δx) =
 cos x ⋅ lim_{Δx → 0} cos Δx – sin x ⋅ lim_{Δx → 0} sin Δx = cos x ⋅ 1 – sin x ⋅ 0 = cos x.

Непрерывность тангенса и котангенса

См. также «Тангенс и котангенс – свойства, графики, формулы»

Тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус:
tg x = sin xcos x,  ctg x = cos xsin x.
Воспользуемся арифметическими свойствами непрерывных функций. Поскольку синус и косинус определены и непрерывны для всех x, то тангенс и котангенс определены и непрерывны для всех x, кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль:
y = tg x,  x ≠ π2 + nπ;
y = ctg x,  x ≠ nπ.
Здесь n = 0, ±1, ±2, ±3, ... – целое число.

Теорема доказана.

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций

Непрерывность арксинуса

Функция синус, y = sin x, строго возрастает при – π2 + nπ ≤ x ≤ π2 + nπ, где n – целое число. Она строго убывает при π2 + nπ ≤ x ≤ 3π2 + nπ. Для определения главного значения обратной функции, берут наиболее близкий к нулю интервал, на котором синус является строго монотонной функцией. Это замкнутый интервал с n = 0:
{ x : – π2 ≤ x ≤ π2 }.
На нем функция синус непрерывна, строго возрастает и имеет множество значений
{y : –1 ≤ y ≤ 1}.
Тогда, по теореме о существовании и непрерывности обратной функции, на отрезке [–1, 1] определена и непрерывна обратная функция, которая называется арксинусом (точнее главным значением арксинуса). Арксинус имеет множество значений [ – π2, π2 ].

Непрерывность арккосинуса

Функция косинус, y = cos x, строго убывает при nπ ≤ x ≤ π + nπ. Она строго возрастает при –π + nπ ≤ x ≤ nπ. Наиболее близким к нулю интервалом, на котором косинус является строго монотонной функцией, выбирают отрезок с положительными значениями:
{ x : 0 ≤ x ≤ π }.
На нем функция косинус непрерывна, строго убывает и имеет множество значений
{y : –1 ≤ y ≤ 1}.
По теореме о существовании и непрерывности обратной функции, на отрезке [–1, 1] определена и непрерывна обратная функция, которая называется арккосинусом (точнее главным значением арккосинуса). Арккосинус имеет множество значений [0, π].

Непрерывность арктангенса

Функция тангенс, y = tg x, определена, непрерывна и строго возрастает на открытых интервалах – π2 + nπ < x < π2 + nπ. Для определения главного значения обратной функции, берут интервал
{ x : – π2 < x < π2 }.
На нем функция тангенс непрерывна, строго возрастает и имеет множество значений
{y : –∞ < y < +∞}.
Тогда, по теореме о существовании и непрерывности обратной функции, на интервале (–∞, +∞) определена и непрерывна обратная функция, которая называется арктангенсом (точнее главным значением арктангенса). Арктангенс имеет множество значений ( – π2, π2 ).

Непрерывность арккотангенса

Функция котангенс, y = ctg x, определена, непрерывна и строго убывает на открытых интервалах nπ < x < π + nπ. Для определения главного значения обратной функции, берут интервал
{ x : 0 < x < π }.
На нем функция котангенс непрерывна, строго убывает и имеет множество значений
{y : –∞ < y < +∞}.
Тогда, по теореме о существовании и непрерывности обратной функции, на интервале (–∞, +∞) определена и непрерывна обратная функция, которая называется арккотангенсом (точнее главным значением арккотангенса). Арккотангенс имеет множество значений (0, π).

Теорема доказана.