Примеры применения формулы производной сложной функции

Приводятся примеры вычисления производных сложных функций.

Формула производной сложной функции

Если функцию y =  f (x) можно представить как сложную:
 f (x) = g(u(x)),
то ее производная определяется по формуле производной сложной функции:
dydx = dydu ⋅ dudx.
Ее можно записать в нескольких вариантах, например:
y^′_x = y^′_u ⋅ u^′_x.
Или так:
( f (x))^′ = (g(u(x)))^′ ≡ (g(u))^′_x = (g(u))^′_u ⋅ u^′_x.
где u = u(x).
Здесь нижние индексы _u или _x, под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование. Для функций  f , g, u в этом нет необходимости, поскольку по умолчанию дифференцирование выполняется по аргументу. Для переменной y нижний индекс необходим, поскольку ее можно выразить как через x, так и через u:
y =  f (x) = g(u).

Обычно, в таблицах производных аргумент функции обозначают буквой x. Однако x – это формальный параметр. Обозначение x можно заменить любой буквой или символом. Поэтому, при дифференцировании функции, зависящей от переменной u, мы просто меняем, в таблице производных, x на u.

Примеры

Далее рассмотрены примеры решений производной сложной функции.
Простые примеры.
y = sin³ x   y = sin 5x   y = e^–x 2
Более сложные примеры
y = ln( x + √ x² + a²  )   y = ln( ln² ( ln² x ) )

Простые примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции
y = sin³ x.

Решение

Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
y(x) = (sin x)³.
В таблице производных находим:
(sin x)^′ = cos x;
( u³ )^′_u = 3u^3 – 1 = 3u².

По формуле производной сложной функции имеем:
y^′ = ( (sin x)³ )^′ = ( u³ )^′_x = ( u³ )^′_u ⋅ u^′_x = 3u^3 – 1 (sin x)^′ = 3u² cos x = 3 sin² x cos x.
Здесь u = sin x.

Ответ

y^′ = 3 sin² x cos x.

Пример 2

Найти производную
y = sin 5x.

Решение

Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
(5x)^′ = 5(x)^′ = 5( x¹ )^′ = 5 ⋅ 1 ⋅ x^1 – 1 = 5x⁰ = 5 ⋅ 1 = 5.

Применяем формулу производной сложной функции:
y^′ = (sin 5x)^′ = (sin u)^′_x = (sin u)^′_u ⋅ u^′_x = cos u ⋅ (5x)^′ = cos 5x ⋅ 5 = 5 cos 5x.
Здесь u = 5x.

Ответ

y^′ = 5 cos 5x.

Пример 3

Найдите производную
y = e^–x 2.

Решение

Выносим постоянную –1 за знак производной и из таблицы производных находим:
( –x² )^′ = ( –1 ⋅ x² )^′ = –1 ⋅ ( x² )^′ = –1 ⋅ 2x^2 – 1 = –2x¹ = –2x;
Из таблицы производных находим:
( e^u )^′_u = e^u.

Применяем формулу производной сложной функции:
y^′(x) = ( e^–x 2 )^′ = ( e^u )^′_x = ( e^u )^′_u ⋅ u^′_x = e^u ⋅ ( –x² )^′ = e^u ⋅ (–2x) = –2xe^–x 2.
Здесь u = –x².

Ответ

y^′ = –2xe^–x 2.

Более сложные примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных. Также мы применяем правила дифференцирования суммы, произведения и дроби. Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Пример 4

Найдите производную
y = ln( x + √ x² + a²  ).

Решение

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. ( x² + a² )^′ = ( x² )^′ + ( x² )^′ = 2x + 0 = 2x.

Применяем правило дифференцирования сложной функции.
( √ x² + a²  )^′ = ( √ u  )^′_x = ( √ u  )^′_uu^′_x = ( u^1 / 2 )^′_u( x² + a² )^′ = 12 u^12 – 1 ⋅ 2x =
 xu^–1 / 2 = x√ u  = x√ x² + a² .
Здесь мы использовали обозначение
u = x² + a².

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
( x + √ x² + a²  )^′ = (x)^′ + ( √ x² + a²  )^′ = 1 + x√ x² + a²  = x + √ x² + a² √ x² + a² .

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.
y^′ = ( ln( x + √ x² + a²  ) )^′ = (ln v)^′_x = (ln v)^′_v ⋅ v^′_x = 1v ⋅ ( x + √ x² + a²  )^′ =
 1x + √ x² + a²  ⋅ x + √ x² + a² √ x² + a²  = 1√ x² + a² .
Здесь v = x + √ x² + a² .

Ответ

y^′ = 1√ x² + a² .

Пример 5

Найдите производную функции
y = ln( ln² ( ln² x ) ).

Решение

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. ( ln x )^′ = 1x.

Применяем правило дифференцирования сложной функции.
( ln² x )^′ ≡ ( (ln x)² )^′ = ( u² )^′_x = ( u² )^′_u ⋅ u^′_x = 2u ⋅ ( ln x )^′ = 2 ln x ⋅ 1x = 2 ln xx.
Здесь
u = ln x.

Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
( ln( ln² x ) )^′ = ( ln( v ) )^′_x = ( ln( v ) )^′_v ⋅ v^′_x = 1v ⋅ ( ln² x )^′ = 1ln² x ⋅ 2 ln xx = 2x ln x.
Здесь
v = ln² x.

Дифференцируем следующую часть.
( ln² ( ln² x ) )^′ ≡ ( ( ln( ln² x ) )² )^′ = ( w² )^′_x = ( w² )^′_w ⋅ w^′_x = 2w ⋅ ( ln( ln² x ) )^′ =
 2 ln( ln² x ) ⋅ 2x ln x = 4 ln( ln² x )x ln x.
Здесь
w = ln( ln² x ).

Теперь находим производную искомой функции.
y^′ = ( ln( ln² ( ln² x ) ) )^′ = ( ln z )^′_x = ( ln z )^′_z ⋅ z^′_x = 1z ⋅ ( ln² ( ln² x ) )^′ =
 1ln² ( ln² x ) ⋅ 4 ln( ln² x )x ln x = 4x ⋅ ln x ⋅ ln( ln² x ).
Здесь
z = ln² ( ln² x ).

Ответ

y^′ = 4x ⋅ ln x ⋅ ln( ln² x ).

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-11-2016