Определение и свойства показательной функции

Определение и свойства показательной функции на множестве натуральных, целых и рациональных чисел. Определение на множестве действительных чисел посредством предела последовательности. Теорема о свойствах показательной функции.

Содержание

См. также:

Определение показательной функции

Определение на множестве натуральных чисел

Показательная функция, зависящая от натурального аргумента: Показательная функция f(n) = aⁿ, с основанием a, зависящая от натурального аргумента n – это произведение n множителей, каждый из которых равен a:
aⁿ = a ⋅ a ⋅ a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a_n раз.
Здесь a ∈ R, n ∈ N.

Свойства показательной функции, зависящей от натурального аргумента

При x, y ∈ N
показательная функция обладает следующими свойствами, вытекающих из правил умножения чисел:
(1.1) a^x > 0 при a > 0;
(1.2) строго возрастает при a > 1 и строго убывает при 0 < a < 1;
(1.3) a^x + y = a^x ⋅ a^y;
(1.4) ( a^x )^y = a^x ⋅ y = ( a^y )^x;
(1.5) (a ⋅ b)^x = a^x ⋅ b^x.

Определение на множестве целых чисел

Если положить:
(1.6) a⁰ = 1,
(1.7) a^–x = 1a^x,
то показательная функция становится определенной и для целых чисел. При этом свойства (1.1) – (1.5) по прежнему выполняются, в которых x, y ∈ Z, a ≠ 0. Подробнее ⇓

Определение на множестве рациональных чисел

Если положить:
(1.8) a^m / n = ⁿ√ a^m ,
где m ∈ Z, n ∈ N, то показательная функция становится определенной и для рациональных чисел x = m / n. При этом выполняются свойства (1.1) - (1.7). В них x, y ∈ Q, a > 0. Подробнее ⇓

Определение на множестве действительных чисел

Далее, основываясь на свойствах показательной функции (1.1) - (1.8), определенной на множестве рациональных чисел, мы определяем эту функцию на множестве действительных чисел и даем доказательство ее свойств.

Лемма

Пусть последовательность рациональных чисел {r_n} сходится к действительному числу x:
lim_{n → ∞} r_n = x.
И пусть a > 0.
Тогда существует предел последовательности {a^r_n}:
lim_{n → ∞} a^r_n,
и этот предел может зависеть от числа x, но не зависит от последовательности {r_n}.
Доказательство

Основываясь на этой лемме, можно определить показательную функцию, зависящую от действительного аргумента.

Определение

Показательная функция: Пусть a > 0; a, x ∈ ℝ.
Показательная функция f(x) = a^x с основанием a – это предел последовательности
a^x = lim_{n → ∞} a^r_n,
где {r_n} есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
lim_{n → ∞} r_n = x.

Это определение справедливо и в случае, если x является рациональным числом. При этом a^x совпадает со значением показательной функции, определяемом на множестве рациональных чисел. Чтобы убедиться в этом, достаточно в качестве последовательности {r_n} взять последовательность с постоянными членами r_n = x ∈ Q.

Теорема. Свойства показательной функции

Пусть a, b, x, x₁, x₂ – действительные числа.
Пусть a > 0, b > 0.
Показательная функция y = a^x имеет на множестве действительных чисел следующие свойства:
(R.0) определена, при a > 0, для всех x : –∞ < x < +∞
(R.1) при a ≠ 1 имеет множество значений y : 0 < y < +∞;
(R.2) строго возрастает при a > 1, строго убывает при 0 < a < 1, является постоянной y = 1 при a = 1;
(R.3) a^{x₁ + x₂} = a^x₁ ⋅ a^x₂;
(R.3*) a^{x₁ – x₂} = a^x₁a^x₂;
(R.4) ( a^x₁ )^x₂ = a^{x₁ ⋅ x₂} = ( a^x₂ )^x₁;
(R.5) (a ⋅ b)^x = a^x ⋅ b^x;
(R.5*) ( ab )^x = a^xb^x;
(R.6) a⁰ = 1;
(R.7) a^–x = 1a^x;
(R.8) непрерывна для всех x : –∞ < x < +∞;
(R.9) lim_{x → –∞} a^x = 0, lim_{x → +∞} a^x = +∞ при a > 1;

lim_{x → –∞} a^x = +∞, lim_{x → +∞} a^x = 0 при 0 < a < 1.
Доказательство

Доказательство свойств на множестве целых чисел

Исследуем вопрос – что будет, если для функции, обладающей свойствами (1.3) – (1.5), присвоить отрицательные значения аргумента? Положим
y = a^–n.
Умножим это уравнение на a^n + 1 и воспользуемся свойством (1.3):
ya^n + 1 = a^–n a^n + 1 = a^{–n + n + 1} = a¹ = a.
Поскольку ya^n + 1 = yaⁿ a, то мы получаем:
yaⁿ a = a.
Отсюда y = 1aⁿ, или
a^–n = 1aⁿ.
В частности, a⁰ = a^n – n = aⁿ a^–n = aⁿaⁿ = 1.

Таким образом, свойства (1.3) – (1.5) выполняются для отрицательных и нулевого значения n, если положить:
a^–n = 1aⁿ;
a⁰ = 1.
Тем самым мы определили значения показательной функции для целых чисел. Однако это возможно не для всех значений основания a. Поскольку деление на нуль не возможно, то a ≠ 0.

Доказательство свойств на множестве рациональных чисел

Теперь рассмотрим вопрос об определении показательной функции для рациональных значений аргумента. Пусть r ∈ Q есть рациональное число. Его можно представить в виде дроби:
r = mn,
где m ∈ Z – целое, n ∈ N – натуральное.

Возьмем самый простой случай. Пусть m = 1. Рассмотрим уравнение:
y = a¹ⁿ.
Умножим его левую и правую части на себя n раз. То есть возведем в степень n и применим свойство (1.4):
yⁿ = ( a¹ⁿ )ⁿ = aⁿⁿ = a¹ = a;
(Q.1) yⁿ = a.
Таким образом, y = a¹ⁿ есть корень степени n из a:
a¹ⁿ = ⁿ√ a .
Для любого n ∈ N и для a ≥ 0, существует единственное решение уравнения (Q.1) в области действительных чисел (см. «Доказательство существования и единственности корня степени n»).

Далее мы используем свойства корней:
(Q.2) ( a¹ⁿ )^m = ( a^m )¹ⁿ;
(Q.3) ( a^1n₁ )^1n₂ = a^1n₁ n₂.
(Q.4) (ab)¹ⁿ = a¹ⁿ b¹ⁿ.
(Q.5) 1a¹ⁿ = ( 1a )¹ⁿ.

Свойство (Q.2) выполняется при m > 0. Покажем, что оно также справедливо и при m < 0. При доказательстве мы будем использовать (1.1) – (1.7) для целых значений x и свойства (Q.2) – (Q.5) с m > 0 для корней.
Пусть m < 0, m ∈ Z. Тогда
( a¹ⁿ )^m = ( a¹ⁿ )^{– | m |} = 1( a¹ⁿ )^| m | = ( 1a¹ⁿ )^| m | = ( ( 1a )¹ⁿ )^| m | =
( 1a )^{| m | n} = ( ( 1a )^| m | )¹ⁿ = ( a^{– | m |} )¹ⁿ = (a^m)¹ⁿ.
Итак, (Q.2) справедливо и для m < 0, m ∈ Z. То есть оно выполняется для целых m и натуральных n.

В силу свойства (Q.2), мы можем определить значения показательной функции для рациональных значений аргумента:
a^mn = ( a¹ⁿ )^m = ( a^m )¹ⁿ.

Используя свойства (1.3) – (1.5) для целых значений аргумента и свойства корней (Q.2) – (Q.4), можно доказать, что (1.3) – (1.5) выполняются и для рациональных значений аргумента показательной функции.

Докажем свойство (1.3). Поскольку x и y рациональные, то их можно выразить через целые m_x, m_y и натуральные n_x, n_y числа: x = m_xn_x, y = m_yn_y. Тогда
a^x + y = a^{m_xn_x + m_yn_y} = a^{m_x n_y + m_y n_xn_x n_y} = ( a^1n_x n_y )^{(m_x n_y + m_y n_x)} = ( a^1n_x n_y )^m_x n_y ⋅ ( a^1n_x n_y )^m_y n_x =
a^{m_x n_yn_x n_y} ⋅ a^{m_y n_xn_x n_y} = a^m_xn_x ⋅ a^m_yn_y = a^x ⋅ a^y.

Докажем свойство (1.4).
(a^x)^y = ( a^m_xn_x )^m_yn_y = ( ( ( a^1n_x )^m_x )^1n_y )^m_y = ( ( ( a^1n_x )^1n_y )^m_x )^m_y = ( a^1n_x n_y )^m_x m_y =
a^{m_x m_yn_x n_y} = a^{m_xn_x ⋅ m_yn_y} = a^x ⋅ y.

Докажем свойство (1.5). Пусть x = mn. Тогда
(a ⋅ b)^x = (a ⋅ b)^mn = ( (a ⋅ b)¹ⁿ )^m = ( a¹ⁿ ⋅ b¹ⁿ )^m = ( a¹ⁿ )^m ⋅ ( b¹ⁿ )^m =
a^mn ⋅ b^mn = a^x ⋅ b^x.

Доказательство леммы

Лемма

Доказательство

1. Докажем существование предела
lim_{n → ∞} a^r_n.

Поскольку последовательность {r_n} сходится, то для нее выполняется условие Коши. Это означает, что имеется такая функция N(ε), при которой для любого ε > 0 выполняется неравенство:
(Л.1) | r_n – r_m | < ε при n, m > N(ε).

1.1. Пусть a > 1.
Докажем, что условие Коши выполняется для последовательности {a^r_n}.

Подставим в (Л.1) ε = 1. Тогда
(Л.2) | r_n – r_m | < 1 при n, m > N(1).
Применим лемму Бернулли. При n, m > N(1) имеем:
(Л.3) | a^r_n – a^r_m | = a^r_m | a^{r_n – r_m} – 1 | ≤ a^r_m 2 | r_n – r_m | (a – 1).

Поскольку последовательность {r_n} сходится к конечному числу, то она ограничена некоторым числом r_max:
r_n ≤ r_max для всех n.
Поскольку показательная функция, определенная на множестве рациональных чисел строго возрастает при a > 1, то
a^r_m ≤ a^r_max для всех m.

Итак, мы нашли такую функцию N₁ (ε₁) = max(N(ε₁ / (2M(a – 1))), N(1)), при которой для любого ε₁ > 0,
| a^r_n – a^r_m | < ε₁ при n, m > N₁ (ε₁).
То есть выполняется условие Коши для последовательности {a^r_n}. Тогда на основании критерия Коши, эта последовательность сходится.

1.2. Теперь рассмотрим случай 0 < a < 1. Сведем его к предыдущему. Положим b = 1 / a. Тогда b > 1, a^r_n = 1 / b^r_n. Мы доказали, что последовательность {b^r_n} сходится. Единицу в числителе можно рассматривать как элемент последовательности с постоянными членами, равными 1. Тогда, на основании арифметических свойств, существует предел частного последовательностей a^r_n = 1 / b^r_n.

2. Теперь докажем, что предел не зависит от выбора последовательности {r_n}.
Пусть мы имеем две, сходящиеся к x, последовательности {r_n} и {r^′_n}:
lim_{n → ∞} r_n = lim_{n → ∞} r^′_n = x.
Мы доказали, что существуют пределы
A = lim_{n → ∞} a^r_n и B = lim_{n → ∞} a^{r^′_n}.
Теперь нам нужно доказать, что A = B.

Составим последовательность {q_n} так, чтобы последовательности {r_n} и {r^′_n} являлись ее подпоследовательностями. Для нечетных n, положим q_2n – 1 = r_n; для четных: q_2n = r^′_n. Последовательность {q_n} имеет предел lim_{n → ∞} q_n = x. Тогда, согласно доказанному выше, существует предел lim_{n → ∞} a^q_n. Далее замечаем, что последовательности {a^r_n} и {a^{r^′_n}} являются подпоследовательностями последовательности {a^q_n}. Поскольку предел любой подпоследовательности равен пределу последовательности, то
lim_{n → ∞} a^r_n = lim_{n → ∞} a^{r^′_n} = lim_{n → ∞} a^q_n.

Лемма доказана.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 17-11-2018 Изменено: 25-04-2021

См. также: