Методы решения физико-математических задач

Дифференциальное уравнение Риккати

Дифференциальное уравнение Риккати
Дано определение дифференциального уравнения Риккати. Рассмотрены его свойства, приведение к более простой форме и частные случаи решения.

Определение
Дифференциальное уравнение Риккати – это уравнение вида
.

Общее решение этого уравнения можно получить только в некоторых частных случаях.

Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении

Рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1)   .
Пусть известно его частное решение :

Тогда подстановкой уравнение Риккати (1) приводится к уравнению Бернулли:
;
;
;
;
.
Это уравнение Бернулли с n = 2.

Свойства уравнения Риккати

Не меняет вид уравнения:

  • Произвольное преобразование независимого переменного:
  • Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:

При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциями p, q, r.

Вид общего решения

Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:

И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.

Упрощение уравнения Риккати

Снова рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1)   .
Подстановкой
,
где А – постоянная, оно приводится к виду:
(2)   ,
где .

Далее, подстановкой

оно приводится к виду:
(3)  
где .

Упрощенное уравнение Риккати

Упрощенное уравнение Риккати – это уравнение вида:
(4)   ,
где A, B – постоянные. Оно интегрируется при
,
где – целое.

Покажем это. Сделаем подстановку:
;
.
Подставляем в (4):
.
Умножаем на :
(5)   .
Но
.
Подставляем в (5):

Или
(6)  
где
.
Уравнение (6) интегрируется при
.
Для этого разделим его на и перепишем в следующем виде:
;
;
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.

При уравнение (6) можно преобразовать двумя путями.

  1. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду: .
  2. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

Таким образом, при , где n - целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.

.     Опубликовано: