Методы решения физико-математических задач

Дифференцируемые функции в точке – определение и свойства

Свойства дифференцируемой в точке функции
Определение дифференцируемой функции одной переменной в точке. Важность понятия дифференцируемости для функций, зависящих от многих переменных. Доказательство теорем: об эквивалентности дифференцируемости и существованием производной; о непрерывности дифференцируемой функции.

Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемая функция в точке
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки .
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от и о-малого по сравнению с :
(1)   .
Здесь A – действительное число, ;
о-малое по сравнению с при . То есть
,   где .

Число A в определении (1) не зависит от , но оно зависит от точки , в которой вычисляется приращение. То есть A является функцией от (но не от ). Поэтому вместо (1) можно записать так:
.
Или, заменив на x, так:
.

Как мы увидим ниже, определение дифференцируемой функции одной переменной эквивалентно существованию ее производной. Тогда возникает вопрос – почему нельзя сразу дать определение, что дифференцируемая функция – это функция, имеющая производную?

Ответ на этот вопрос раскрывается при рассмотрении функций нескольких переменных. Дело в том, что производные вычисляются только от функций, зависящих от одной переменной. Для функций двух и более переменных, вначале выбирают направление приближения к заданной точке (например, ось x или ось y), а затем по этому направлению вычисляют производную. Поэтому в любой точке имеется бесконечное множество производных по различным направлением. Из-за этого производные не фигурируют в определении дифференцируемой функции.

По сути, мы хотим ввести новый класс функций, с которыми проще работать методами бесконечно малых величин. Самыми простыми являются линейные функции. Поэтому желательно выделить такой класс функций, приращения которых можно свести к линейным операциям. Это можно сделать, если потребовать, чтобы приращение функции было линейной функцией от приращений ее аргументов плюс о-малое по сравнению с этими приращениями. Такие функции называются дифференцируемыми. Например, для функции двух переменных можно записать так:
,
где – действительные числа не зависящие от ;
– норма вектора .

Дифференцируемая функция многих переменных в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , .
Функция f называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращений ее аргументов и о-малого по сравнению с нормой приращений аргументов:
.
Здесь – действительные числа, ;
– о-малое по сравнению с при ;
.

Свойства дифференцируемой функции

Теорема
Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует производная . При этом
.
Доказательство ⇓

Таким образом, в случае функции от одной переменной, дифференцируемость функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке. Забегая вперед укажем, что в случае функций многих переменных, для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.

Теорема
Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство ⇓

Заметим, что обратное неверно. Если функция непрерывна в точке, то она может не быть дифференцируемой в этой точке. Так функция непрерывна для всех x, но не имеет производной при . См пример

Доказательства теорем

Связь дифференцируемости функции с существованием производной

Все свойства ⇑ Теорема
Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует производная . При этом
.

Доказательство

1) Пусть функция дифференцируема в точке , то есть выполняется (1):
.
Разделим на и выполним переход :
;
.
Здесь, согласно свойству о-малого, . Отсюда получаем, что существует конечный предел
,
который является производной функции в точке : .

2) Пусть в точке существует производная . Это означает, что существует предел:
.
Воспользуемся свойством бесконечно малых функций. согласно которому, для существования предела необходимо и достаточно, чтобы функция имела вид , где – бесконечно малая функция при .

В нашем случае это означает, что
.
Отсюда
.

Теорема доказана.

Связь дифференцируемости функции с ее непрерывностью

Все свойства ⇑ Теорема
Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда она непрерывна в этой точке.

Доказательство

Используем определение непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, функция f непрерывна в , если
1) определена в некоторой окрестности ;
2) существует предел при , и он равен :
.

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда согласно определению ⇑, она определена в некоторой окрестности точки . Пункт 1) выполнен.

Докажем, что выполняется пункт 2) . Поскольку дифференцируема в точке , то выполняется (1):
.
Выполняем предельный переход :
;
;
;
.
Сделаем подстановку . Тогда при . Последнее уравнение принимает вид:
.

Теорема доказана.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:

Меню