Производная котангенса: (ctg x)′

Представлен вывод формулы для производной котангенса - ctg(x). Дана формула производной котангенса n-го порядка в виде многочлена по степеням ctg(x). Коэффициенты этого многочлена связаны рекуррентным соотношением.

Производная по переменной x от котангенса x равна минус единице, деленной на синус в квадрате от x:
( ctg x )′ = – 1sin² x.

Вывод формулы производной котангенса

Формула производной дроби (4) справедлива для тех значений переменной x, для которых существуют производные функций u и v и для которых знаменатель дроби не обращается в нуль:
v ≠ 0.
В нашем случае
u = cos x, v = sin x. Поскольку производные косинуса и синуса определены для всех значений переменной x, то формула производной котангенса справедлива для всех x, кроме точек, в которых синус равен нулю. То есть кроме точек
x = nπ,
где n = 0, ±1, ±2, ±3, ... – целое число.
Сама функция y = ctg x определена для всех x, кроме точек
x = nπ.
Поэтому производная котангенса определена на всей области определения функции котангенс.

Производные высших порядков

Простой формулы, для производной n-го порядка от котангенса y = ctg x, нет. Но вычисление производных высших порядков можно упростить. Можно свести сам процесс к дифференцированию многочлена.

Для этого выразим производную от котангенса через сам котангенс:
y^′ = ( ctg x )^′ = – 1sin² x = – sin² x + cos² xsin² x =  – ( 1 + tg² x ) =– ( 1 + y² ).
Итак, мы нашли:
(6)   y^′ =– ( 1 + y² ).

Найдем производные левой и правой части уравнения (6) и применим правило дифференцирования сложной функции. Получаем производную второго порядка:
y^′′ = ( y^′ )^′ =– ( 1 + y² )^′_x =  – ( 1 + y² )^′_y ⋅ y^′ = –2y ⋅ y^′.
Подставим (6):
(7)   y^′′ = 2y( 1 + y² ) = 2( y + y³ ).

Найдем производную третьего порядка. Для этого дифференцируем уравнение (7), применяем правило дифференцирования сложной функции и используем выражение (6) для первой производной:
y^′′′ = 2( y + y³ )^′_y ⋅ y^′ = –2( 1 + 3y² ) ⋅ ( 1 + y² ) = –2( 1 + 4y² + 3y⁴ ).

Подобным способом находим производные четвертого и пятого порядков:
y^IV = –2( 1 + 4y² + 3y⁴ )^′_y ⋅ y^′ = 2( 8y + 12y³ ) ⋅ ( 1 + y² ) = 8( 2y + 3y³ ) ⋅ ( 1 + y² ) =
 8( 2y + 5y³ + 3y⁵ );
y^V = 8( 2y + 5y³ + 3y⁵ )^′_y ⋅ y^′ = –8( 2 + 15y² + 15y⁴ ) ⋅ ( 1 + y² ) =
 –8( 2 + 17y² + 30y⁴ + 15y⁶ ).

В общем виде, производную n-го порядка, по переменной x от функции котангенс, y = ctg x, можно представить в виде многочлена по степеням котангенса:
y⁽ⁿ⁾ = ^n + 1Σ_k = 0 aⁿ_k y^k.
Коэффициенты aⁿ_k этого многочлена связаны рекуррентным соотношением:
a^n + 1_k = –(k – 1) aⁿ_k – 1 – (k + 1) aⁿ_k + 1,
где
a⁰₀ = 0;   a⁰₁ = 1;
a^m_–1 = 0;  a^m_m + 2 = 0;  a^m_m + 3 = 0;   m = 1,  2,  3, ....

Общая формула

Представим процесс дифференцирования одной формулой. Для этого заметим, что
y^(n + 1) = ( y⁽ⁿ⁾ )^′ = ( y⁽ⁿ⁾ )^′_y ⋅ y^′ = y^′ ⋅ ddy y⁽ⁿ⁾ = –( 1 + y² ) ⋅ ddy y⁽ⁿ⁾.
Тогда n-я производная котангенса имеет следующий вид:
y⁽ⁿ⁾ = (–1)ⁿ [ ( 1 + y² ) ddy  ]ⁿ y,
где y = ctg x.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-03-2017