Дифференциальное уравнение Клеро
- Дифференциальное уравнение Клеро
- – это уравнение вида
.
Решение дифференциального уравнения Клеро
Рассмотрим уравнение Клеро:
(1)
Не трудно убедиться, что его общее решение имеет вид:
(2)
Действительно, поскольку – постоянная, то – тоже постоянная. Тогда дифференцируя (2) имеем:
;
(3) .
Подставляя (2) и (3) в (1), получаем тождество:
.
Особое решение дифференциального уравнения Клеро
Уравнение Клеро может иметь особое решение. Как известно, если общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
,
то особое решение может получиться исключением из уравнений:
;
.
В нашем случае, решение (2) можно записать в виде:
.
Тогда
.
Тогда особое решение может получиться, исключением из уравнений:
;
.
Поскольку возможны посторонние решения, то после нахождения особого решения, необходимо проверить, удовлетворяет ли он исходному уравнению (1).
Пример
Решить уравнение:
(1.1)
Решение
Это уравнение Клеро. Его общее решение имеет вид:
Ищем особое решение. Перепишем общее решение в виде:
.
Дифференцируем по :
.
Тогда особое решение может получиться исключением из уравнений:
(1.2) ;
(1.3) .
Исключаем . Из уравнения (1.3) имеем:
(1.4) .
Возводим в квадрат и преобразуем:
;
;
. Отсюда следует, что .
Извлекаем квадратный корень:
(1.5) .
Поскольку мы возводили в квадрат, то, возможно, (1.5) содержит лишние решения, которые не удовлетворяют (1.4). Сейчас мы примем (1.5), а отсев лишних решений сделаем в самом конце.
Подставим (1.4) и (1.5) в (1.2):
.
Итак, особые решения имеют вид:
(1.6) .
Теперь сделаем проверку, чтобы выяснить, удовлетворяет ли исходному уравнению (1.1):
(1.1) .
Находим производную (1.6) и выполняем преобразования:
;
;
.
Подставляем в (1.1):
(1.7) .
При , . Уравнение (1.7) принимает вид:
.
Оно выполняется, если взять нижний знак:
.
То есть при , .
При , . Уравнение (1.7) принимает вид:
.
Оно выполняется, если взять верхний знак:
.
То есть при , .
Ответ
Общее решение уравнения имеет вид:
При уравнение имеет особое решение:
.
При уравнение имеет особое решение:
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: