Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- Обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка
- Дифференциальное уравнение первого порядка называется обобщенно однородным, если существует такое отличное от нуля и единицы число , при котором это уравнение не меняет своего вида после замены
,
где – постоянная. При такой замене производная умножается на :
.
Уравнения, разрешенные относительно производной, приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой
(5) , где – функция от .
Кроме этого, любое обобщенно однородное уравнение приводятся к уравнениям, не содержащих независимую переменную подстановками
(6) ,
где – функция от .
В общем виде, обобщенно однородные уравнения можно записать так:
(1) , где функция обладает следующим свойством:
(2) .
Здесь может зависеть от переменных и .
Обобщенно однородные уравнения, разрешенные относительно производной, можно представить в следующем виде:
(3) ,
где и – однородные функции с равными показателями однородности.
Также, такие уравнения можно записать, используя только одну произвольную функцию :
(4) .
Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену
.
Если удастся выбрать такое значение s, при котором постоянная t сократится, то это обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.
Пример
Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.
Решение
Делаем замену :
;
.
Разделим на t s+5:
;
.
Уравнение не будет содержать t, если
4s – 6 = 0, s = 3/2.
Поскольку при s = 3/2, t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение.
Методы решения
Общий вид обобщенно однородных уравнений
Сначала проясним вопрос, почему в определении тестовая переменная является постоянной, а в (2) может быть функцией. На самом деле форма (1) не описывает все возможные варианты записи обобщенно однородных уравнений. В более общем случае, дифференциальное уравнение можно представить в виде различных комбинаций, составленных из переменных и дифференциалов. Тогда, чтобы иметь возможность выносить тестовую переменную за знаки дифференциалов, ее нужно считать постоянной. Но в форме (1) она уже вынесена из под дифференциалов, поэтому может быть функцией.
Во всех этих и дальнейших рассуждениях подразумевается, что значения и таковы, что при них определены все используемые функции.
Легко убедиться, что формы (1), (3) и (4) описывают обобщенно однородные уравнения. Для этого сделаем в них замены .
Для формы (1), используем свойство (2):
;
;
.
сократилось – это обобщенно однородное уравнение.
Для формы (3), используем определение однородной функции и учтем, что показатели однородности функций и равны:
;
;
.
сократилось.
Для формы (4):
;
.
Здесь также сократилось.
Теперь покажем, как от формы (3) перейти к (4). Разделим (3) на , воспользуемся однородностью функций и , и что их показатели однородности равны. При имеем:
,
где .
Поскольку мы отбросили случай , то эти формы не эквивалентны. Уравнение (3) может содержать дополнительные решения, определяемые из уравнения . Остальные решения этих уравнений совпадают.
Решение уравнений, разрешенных относительно производной
Рассмотрим разрешенное относительно производной обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка в форме (4):
.
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки
.
Действительно,
.
Отсюда
; .
Подставляем в исходное уравнение:
;
.
Это однородное уравнение. Оно решается заменой
,
где u – функция от t.
Однако, при решении задач, проще сразу применить подстановку
(5) , где – функция от .
Также можно ввести переменные и сделать замену
(6) .
Покажем, что при этом уравнение
(4)
приводится к разделяющимся переменным.
Выразим производную через переменные и .
;
;
;
;
(7) .
Подставляем в (4):
;
;
;
;
;
.
И мы получили уравнение с разделяющимися переменными.
Уравнения, неразрешенные относительно производной
Покажем, что любые обобщенно однородные уравнения, в том числе и неразрешенные относительно производной, приводятся к уравнениям, не содержащих независимую переменную подстановками
(6) ,
где – функция от .
Ранее мы уже нашли выражение производной через переменные и :
(7) .
Подставим в (1) и применим свойство (2).
;
;
;
;
.
Мы получили уравнение, содержащее в явном виде только зависимую переменную и ее производную . Оно не содержит зависимую переменную .
См. Решение дифференциальных уравнений, не содержащих одну из переменных
Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка
Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .
Решение первым способом
Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t s· y, x → t·x, y′ → t s–1 y′.
.
Разделим на t s:
.
t сократится, если положить s = –1. Значит – это обобщенное однородное уравнение.
Делаем подстановку
, где u – функция от x.
.
Подставляем в исходное уравнение:
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные – умножаем на dx и делим на . При имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов:
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С:
.
Возвращаемся к переменной y. Подставляем u = xy:
.
Делим на x:
(П.2) .
Когда мы делили на , то предполагали, что . Теперь рассмотрим случай , или .
Легко проверить, что постоянная функция удовлетворяет исходному уравнению (П.1). Поэтому она является его решением. Поскольку это решение не входит в (П.2), то добавим его к полученному общему интегралу.
Ответ
;
.
Решение вторым способом
Теперь решим уравнение подстановкой
(6) ,
перейдя к новым переменным и .
Выше мы нашли выражение производной через переменные и :
(7) .
Для подстановки примут вид.
.
Подставляем в исходное уравнение и решаем его.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Осталось рассмотреть случай . В результате получаем частное решение .
Ответ
;
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: