Числовые промежутки

Приводятся определения, термины и обозначения, используемые в учебной и научной литературе для обозначений различных числовых промежутков: отрезок, интервал, сегмент, луч.

Определение промежутка

Числовой промежуток

– это такое множество X действительных чисел R, что если два числа x₁ и x₂ (пусть x₁ < x₂) принадлежат этому множеству, x₁ ∈ X, x₂ ∈ X, то и любое действительное число x₀ между ними, x₁ < x₀ < x₂, также принадлежит этому множеству, x₀ ∈ X:
x₁ ∈ X, x₂ ∈ X,  x₁ < x₀ < x₂  ⇒  x₀ ∈ X.

Левый или нижний конец промежутка

Левым или нижним концом промежутка X называют его нижнюю границу:
a = inf_x ∈ X x.

Правый или верхний конец промежутка

Правым или верхним концом промежутка X называют его верхнюю границу:
b = sup_x ∈ X x.

Виды числовых промежутков

Далее считаем, что a, b – действительные числа, a < b.

Отрезок или сегмент или замкнутый интервал – это промежуток, который содержит свои концы и поэтому является замкнутым множеством:
[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}.

Интервал или открытый интервал – это промежуток, который не содержит свои концы и поэтому является открытым множеством:
(a, b) = {x : a < x < b}.
Интервал иногда обозначают так:
]a, b[ ≡ (a, b).

Полуинтервал или полуоткрытый интервал или полузамкнутый интервал или полусегмент или полуоткрытый сегмент или полузамкнутый сегмент – это промежуток, который содержит только один из концов:
[a, b) = {x : a ≤ x < b}, или (a, b] = {x : a < x ≤ b}.
Полуинтервалы иногда обозначают так:
[a, b[ ≡ [a, b),  ]a, b]  ≡ (a, b].

Прямая – это неограниченный с обеих сторон промежуток:
(–∞, +∞) = {x : –∞ < x < +∞} = R.

Замкнутый луч или замкнутая полупрямая – это промежуток, который содержит один из своих концов и неограничен с другой стороны:
(–∞, b] = {x : –∞ < x ≤ b} = {x : x ≤ b}, или
[a, +∞) = {x : a ≤ x < +∞} = {x : x ≥ a}.

Открытый луч или открытая полупрямая – это промежуток, который неограничен только с одной стороны, и не содержит свой конец с противоположной стороны:
(–∞, b) = {x : –∞ < x < b = {x : x < b}, или
(a, +∞) = {x : a < x < +∞} = {x : x > a}.

Точка и пустое множество

Иногда границы промежутков являются алгебраическими выражениями, зависящие от значений некоторых параметров. Это может приводить к вырождению промежутков. Например:
[a, a] – это точка;
(a, a) – это пустое множество;
[b, a] при a < b – пустое множество.

Чтобы в подобных случаях не делать дополнительных пояснений, точку и пустое множество также часто причисляют к промежуткам, хотя они не соответствуют определению, данному выше.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 03-12-2025