Числовые промежутки

Приводятся определения, термины и обозначения, используемые в учебной и научной литературе для обозначений различных числовых промежутков: отрезок, интервал, сегмент, луч.

Определение промежутка

Числовой промежуток

– это такое множество X  действительных чисел R, что если два числа x ₁ и x ₂ (пусть x ₁ < x ₂) принадлежат этому множеству, x ₁ ∈ X , x ₂ ∈ X , то и любое действительное число x ₀ между ними, x ₁ < x ₀ < x ₂, также принадлежит этому множеству, x ₀ ∈ X :
x ₁ ∈ X , x ₂ ∈ X ,  x ₁ < x ₀ < x ₂   ⇒   x ₀ ∈ X .

Левый или нижний конец промежутка

Левым или нижним концом промежутка X  называют его нижнюю границу:
a  = inf_{x  ∈ X} x .

Правый или верхний конец промежутка

Правым или верхним концом промежутка X  называют его верхнюю границу:
b  = sup_{x  ∈ X} x .

Виды числовых промежутков

Далее считаем, что a , b  – действительные числа, a  < b .

Отрезок или сегмент или замкнутый интервал – это промежуток, который содержит свои концы и поэтому является замкнутым множеством:
[a , b ] = {x  : a  ≤ x  ≤ b }.

Интервал или открытый интервал – это промежуток, который не содержит свои концы и поэтому является открытым множеством:
(a , b ) = {x  : a  < x  < b }.
Интервал иногда обозначают так:
]a , b [ ≡ (a , b ).

Полуинтервал или полуоткрытый интервал или полузамкнутый интервал или полусегмент или полуоткрытый сегмент или полузамкнутый сегмент – это промежуток, который содержит только один из концов:
[a , b ) = {x  : a  ≤ x  < b }, или (a , b ] = {x  : a  < x  ≤ b }.
Полуинтервалы иногда обозначают так:
[a , b [ ≡ [a , b ),  ]a , b ]  ≡ (a , b ].

Прямая – это неограниченный с обеих сторон промежуток:
(–∞, +∞) = {x  : –∞ < x  < +∞} = R.

Замкнутый луч или замкнутая полупрямая – это промежуток, который содержит один из своих концов и неограничен с другой стороны:
(–∞, b ] = {x  : –∞ < x  ≤ b } = {x  : x  ≤ b }, или
[a , +∞) = {x  : a  ≤ x  < +∞} = {x  : x  ≥ a }.

Открытый луч или открытая полупрямая – это промежуток, который неограничен только с одной стороны, и не содержит свой конец с противоположной стороны:
(–∞, b ) = {x  : –∞ < x  < b  = {x  : x  < b }, или
(a , +∞) = {x  : a  < x  < +∞} = {x  : x  > a }.

Точка и пустое множество

Иногда границы промежутков являются алгебраическими выражениями, зависящие от значений некоторых параметров. Это может приводить к вырождению промежутков. Например:
[a , a ] – это точка;
(a , a ) – это пустое множество;
[b , a ] при a  < b  – пустое множество.

Чтобы в подобных случаях не делать дополнительных пояснений, точку и пустое множество также часто причисляют к промежуткам, хотя они не соответствуют определению, данному выше.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 03-12-2025