Методы решения физико-математических задач

Свойства показательной функции

Свойства показательной функции - теорема
Доказательство теоремы о свойствах показательной функции на множестве действительных чисел. Свойства включают: область определения, множество значений, непрерывность, формулы с показательной функцией.

Теорема. Свойства показательной функции

Показательная функция имеет на множестве действительных чисел x следующие свойства:
(0)   определена, при , для всех ;  ⇓
(1)   при a ≠ 1 имеет множество значений ;  ⇓
(2)   строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;  ⇓
(3)   ;  ⇓
(3*)   ;  ⇓
(4)   ;  ⇓
(5)   ;  ⇓
(5*)   ;  ⇓
(6)   ;  ⇓
(7)   ;  ⇓
(8)   непрерывна для всех ;  ⇓
(9)     при ;
  при .  ⇓

Доказательство теоремы

При доказательстве мы считаем, что свойства показательной функции на множестве рациональных чисел известны. Их вывод изложен на странице «Определение и свойства показательной функции».

Поэтому нам нужно доказать свойства функции , определенной на множестве действительных чисел: . Для этого мы используем определение показательной функции, как предела последовательности:
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
.

Заметим, что для доказательства свойств показательной функции, нам достаточно выбрать любую, удобную для нас последовательность рациональных чисел , сходящуюся к x. Действительно, согласно лемме, значение не зависит от выбора последовательности.

Порядок доказательств свойств показательной функции отличается от порядка, в котором расположены свойства. Это сделано для удобства изложения. Последующие пункты могут использовать свойства, доказанные в первую очередь.

А. Сначала докажем, что
(С.А.1)   ax > 0.
Согласно определению,
.
Поскольку последовательность рациональных чисел сходится к конечному числу x, то она ограничена:
.
Поскольку функция , определенная на множестве рациональных чисел монотонна (см. (1.2)), то она достигает своего минимального значения на границе рассматриваемого отрезка. Тогда
(С.А.2)   .
Здесь при нужно взять знак “плюс”. При – знак “минус”. При , функция постоянна, . Можно взять любой знак. Выполним в (С.А.2) предельный переход , пользуясь свойствами пределов последовательностей, связанными неравенствами и определением показательной функции:
;
.
Согласно свойству (1.1), . Тогда и
.

0. Докажем, что показательная функция
определена, при , для всех действительных чисел .
Поскольку показательная функция , при , определена для всех рациональных чисел r, и поскольку для любого действительного числа x существует последовательность рациональных чисел, сходящихся к x, то, согласно определению, показательная функция определена для всех действительных чисел .

6. .
Здесь аргумент является рациональным числом. Мы считаем, что свойства показательной функции на множестве рациональных чисел известны. Мы добавили этот пункт, чтобы объединить все свойства вместе.

2. Докажем строгую монотонность показательной функции при a ≠ 1. То есть, если , то
при ;
при ;
при .

Итак, пусть . Выберем рациональные числа и , удовлетворяющие неравенствам:
.
Возьмем последовательности и , сходящиеся к и :
,
элементы которых удовлетворяют неравенствам:
,   .
Тогда
.

2.1. Пусть .
Поскольку показательная функция, определенная на множестве рациональных чисел, при , строго возрастает, то
(С.2.1)   .
Применим свойства пределов последовательностей, связанных неравенствами и определение показательной функции:
;
.
Отсюда .

2.2. Пусть .
В этом случае, показательная функция, определенная на множестве рациональных чисел, строго убывает. Доказательство такое же, как и в пункте 2.1 ⇑, только начиная с (С.2.1), нужно поменять знаки неравенств:
(С.2.2)   ;
;
;
.

2.3. Пусть .
Показательная функция , определенная на множестве рациональных чисел , является постоянной . Последовательность является последовательностью из постоянных элементов. Поэтому ее предел также равен единице:
;
  для всех x.

3. Докажем, что
.
Пусть и – произвольные последовательности рациональных чисел, сходящиеся к и :
.
Применим свойство предела суммы для последовательности :
(С.3.1)   .
Рассмотрим последовательность . Поскольку, согласно лемме, и сходятся, то применим свойство предела произведения последовательностей иопределение показательной функции:
.
С другой стороны, применяя (С.3.1) и свойство (1.3) показательной функции от рационального аргумента, имеем:
.
Отсюда
.

5. Докажем, что
.
Все рассуждения и обозначения такие же, что и при доказательстве свойства 3 ⇑. Аналогичным образом, применяя свойство (1.5) для рационального аргумента, имеем:
.

5*. Докажем, что
.
Используем следующее свойство показательной функции от рационального аргумента: . Доказываем тем же способом, что и в предыдущем случае.
.

7. Докажем, что
.
Аналогично предыдущему, имеем:
.
Здесь мы учли, что и применили свойство предела частного последовательностей.

3*. Докажем, что
.
Применяя доказанные выше свойства 3 ⇑ и 7 ⇑, имеем:
.

8. Докажем, что показательная функция
непрерывна для всех .

8.1. Пусть .
Воспользуемся определением непрерывности функции в терминах приращений. Применяем свойство ax > 0 и 3 ⇑
.
Поскольку есть сколь угодно малая величина, то считаем, что . Применим лемму Бернулли для действительных чисел:
.
Тогда
.
Применяем свойство пределов функций, связанных неравенством:
;
;
.

8.2. Пусть .
Введем число . Тогда .
Воспользуемся свойством 5* ⇑, и учтем, что – постоянная функция:
.
Рассмотрим функцию как сложную, составленную из двух функций:
. Выше мы доказали, что функция непрерывна для всех x. Функция непрерывна при . Это можно доказать, применяя арифметические свойства предела функции:
.
Выше мы доказали ⇑, что . Тогда согласно теореме о непрерывности сложной функции, функция непрерывна для всех x.

8.3. Пусть .
Выше мы показали ⇑, что функция является постоянной функцией: . Поэтому она является непрерывной для всех x.

4. Докажем, что
.

4.1. Рассмотрим случай .
Пусть – натуральные числа. Тогда
.
Применяя свойство 3 ⇑, имеем:
;
(С.4.1)   .

Теперь исследуем, что такое . Введем обозначение:
(С.4.2)   .
Возведем в n-ю степень. То есть умножим левую и правую части на себя n раз, и применим (С.4.1):
;
.
Поскольку ax > 0, то b есть корень степени n из положительного числа :
. Подставляя (С.4.2), имеем:
(С.4.3)   .

Применяя свойства (С.4.1) и (С.4.3), для произвольного положительного рационального числа получаем:
;
(С.4.4)   .

Пусть есть произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x2:
(С.4.5)   .
Используем (С.4.4):
.
Рассмотрим последовательность . Учитывая (С.4.5), и применяя арифметические свойства сходящихся последовательностей, получаем, что сходится к :
.
Выше мы доказали, что показательная функция непрерывна ⇑. Используя определение непрерывности функции по Гейне, получаем:
;
.
Что и требовалось доказать.

4.2. Рассмотрим случай .
Тогда . Применяя свойство 7 ⇑, имеем:
.

4.3. Теперь пусть .
Применяем (С.6) Тогда .
Поскольку ax1 > 0, то
.
Таким образом и в этом случае
.

9. Докажем, что
  при ;
  при .
9.1. Пусть .
9.1.1. Докажем, что
.
Поскольку функция монотонна ⇑, то согласно теореме о пределе монотонной функции, она имеет конечный или бесконечный предел
.
Поскольку функция имеет предел A, то согласно определению предела функции по Гейне, для любой последовательности , сходящейся к , последовательность сходится к A:
.
Возьмем последовательность натуральных чисел . Она сходится к : . Тогда
.

Для вычисления этого предела, применим неравенство Бернулли:
.
При , правая часть неравенства стремится к . Применяя свойство неравенств бесконечно больших последовательностей, находим, что
.
Отсюда ,  .

9.1.2. Докажем, что
.
Сделаем подстановку . Применим свойство (С.7)   и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
.

9.2. Пусть .
Сделаем подстановку . Тогда ,
;
.

1. Докажем, что при a ≠ 1 показательная функция имеет множество значений .
Рассмотрим функцию на отрезке , где – произвольные числа. Поскольку функция строго монотонна ⇑ и определена для всех x, то она достигает минимума и максимума на концах отрезка – в точках и . Поскольку функция непрерывна ⇑, то согласно теореме Больцано – Коши о промежуточном значении, она принимает все значения из отрезка , если и , если . Устремляя и , и используя найденные выше пределы ⇑ получаем, что множеством значений показательной функции является множество положительных чисел .

Теорема доказана.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:

Меню