Свойства показательной функции

Теорема. Свойства показательной функции

Показательная функция y = a^x
имеет на множестве действительных чисел x следующие свойства:
(0)   определена, при a > 0, для всех x : –∞ < x < +∞;  ⇓
(1)   при a ≠ 1 имеет множество значений y : 0 < y < +∞;  ⇓
(2)   строго возрастает при a > 1, строго убывает при 0 < a < 1, является постоянной y = 1 при a = 1;  ⇓
(3)   a^{x₁ + x₂} = a^x₁ ⋅ a^x₂;  ⇓
(3*)   a^{x₁ – x₂} = a^x₁a^x₂;  ⇓
(4)   ( a^x₁ )^x₂ = a^{x₁ ⋅ x₂} = ( a^x₂ )^x₁;  ⇓
(5)   (a ⋅ b)^x = a^x ⋅ b^x;  ⇓
(5*)   ( ab )^x = a^xb^x;  ⇓
(6)   a⁰ = 1;  ⇓
(7)   a^–x = 1a^x;  ⇓
(8)   непрерывна для всех x : –∞ < x < +∞;  ⇓
(9)   lim_{x → –∞} a^x = 0,  lim_{x → +∞} a^x = +∞   при a > 1;
lim_{x → –∞} a^x = +∞,  lim_{x → +∞} a^x = 0   при 0 < a < 1.  ⇓

Доказательство теоремы

При доказательстве мы считаем, что свойства показательной функции на множестве рациональных чисел известны. Их вывод изложен на странице «Определение и свойства показательной функции».

Поэтому нам нужно доказать свойства функции a^x, определенной на множестве действительных чисел: x ∈ R. Для этого мы используем определение показательной функции, как предела последовательности:
a^x = lim_{n → ∞} a^r_n,
где {r_n} есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
lim_{n → ∞} r_n = x.

Заметим, что для доказательства свойств показательной функции, нам достаточно выбрать любую, удобную для нас последовательность рациональных чисел {r_n}, сходящуюся к x. Действительно, согласно лемме, значение a^x не зависит от выбора последовательности.

Порядок доказательств свойств показательной функции отличается от порядка, в котором расположены свойства. Это сделано для удобства изложения. Последующие пункты могут использовать свойства, доказанные в первую очередь.

a^x > 0

А. Сначала докажем, что
(С.А.1)   a^x > 0.
Согласно определению,
a^x = lim_{n → ∞} a^r_n.
Поскольку последовательность рациональных чисел {r_n} сходится к конечному числу x, то она ограничена:
 | r_n |  ≤ M,   M > 0,   M ∈ Q.
Поскольку функция  f (r) = a^r, определенная на множестве рациональных чисел монотонна (см. (1.2)), то она достигает своего минимального значения на границе рассматриваемого отрезка. Тогда
(С.А.2)   a^r_n ≥ a^±M.
Здесь при 0 < a < 1 нужно взять знак “плюс”. При a > 1 – знак “минус”. При a = 1, функция постоянна, a^r = 1. Можно взять любой знак. Выполним в (С.А.2) предельный переход n → ∞, пользуясь свойствами пределов последовательностей, связанными неравенствами и определением показательной функции:
lim_{n → ∞} a^r_n ≥ a^±M;
a^x ≥ a^±M.
Согласно свойству (1.1), a^±M > 0. Тогда и
a^x > 0.

Область определения

0. ⇑ Докажем, что показательная функция
определена, при a > 0, для всех действительных чисел x : –∞ < x < +∞.
Поскольку показательная функция a^r, при a > 0, определена для всех рациональных чисел r, и поскольку для любого действительного числа x существует последовательность рациональных чисел, сходящихся к x, то, согласно определению, показательная функция определена для всех действительных чисел {x : –∞ < x < +∞}.

6. a⁰ = 1

6. ⇑ a⁰ = 1.
Здесь аргумент является рациональным числом. Мы считаем, что свойства показательной функции на множестве рациональных чисел известны. Мы добавили этот пункт, чтобы объединить все свойства вместе.

2. Строгая монотонность

2. ⇑ Докажем строгую монотонность показательной функции при a ≠ 1. То есть, если x₁ < x₂, то
a^x₁ < a^x₂ при a > 1;
a^x₁ > a^x₂ при 0 < a < 1;
a^x₁ = a^x₂ = 1 при a = 1.

Итак, пусть x₁ < x₂. Выберем рациональные числа r и ρ, удовлетворяющие неравенствам:
x₁ ≤ r < ρ ≤ x₂.
Возьмем последовательности {r_n} и {ρ_n}, сходящиеся к x₁ и x₂:
lim_{n → ∞} r_n = x₁,   lim_{n → ∞} ρ_n = x₂,
элементы которых удовлетворяют неравенствам:
r_n ≤ r,   ρ_n ≥ ρ.
Тогда
r_n ≤ r < ρ ≤ ρ_n.

2.1. Пусть a > 1.
Поскольку показательная функция, определенная на множестве рациональных чисел, при a > 0, строго возрастает, то
(С.2.1)   a^r_n ≤ a^r < a^ρ ≤ a^ρ_n.
Применим свойства пределов последовательностей, связанных неравенствами и определение показательной функции:
lim_{n → ∞} a^r_n ≤ a^r < a^ρ ≤ lim_{n → ∞} a^ρ_n;
a^x₁ ≤ a^r < a^ρ ≤ a^x₂.
Отсюда a^x₁ < a^x₂.

2.2. Пусть 0 < a < 1.
В этом случае, показательная функция, определенная на множестве рациональных чисел, строго убывает. Доказательство такое же, как и в пункте 2.1 ⇑, только начиная с (С.2.1), нужно поменять знаки неравенств:
(С.2.2)   a^r_n ≥ a^r > a^ρ ≥ a^ρ_n;
lim_{n → ∞} a^r_n ≥ a^r > a^ρ ≥ lim_{n → ∞} a^ρ_n;
a^x₁ ≥ a^r > a^ρ ≥ a^x₂;
a^x₁ > a^x₂.

2.3. Пусть a = 1.
Показательная функция  f (r) = 1^r, определенная на множестве рациональных чисел r ∈ Q, является постоянной 1^r = 1. Последовательность {1^r_n} является последовательностью из постоянных элементов. Поэтому ее предел также равен единице:
1^x = lim_{n → ∞} 1^r_n = 1;
1^x = 1  для всех x.

3. a^x₁+x₂ = a^x₁ · a^x₂

3. ⇑ Докажем, что
a^{x₁ + x₂} = a^x₁ ⋅ a^x₂.
Пусть {r_n} и {ρ_n} – произвольные последовательности рациональных чисел, сходящиеся к x₁ и x₂:
lim_{n → ∞} r_n = x₁,   lim_{n → ∞} ρ_n = x₂.
Применим свойство предела суммы для последовательности {r_n + ρ_n}:
(С.3.1)   lim_{n → ∞}(r_n + ρ_n) = x₁ + x₂.
Рассмотрим последовательность {a^r_n ⋅ a^ρ_n}. Поскольку, согласно лемме, {a^r_n} и {a^ρ_n} сходятся, то применим свойство предела произведения последовательностей иопределение показательной функции:
lim_{n → ∞}(a^r_n ⋅ a^ρ_n) = lim_{n → ∞} a^r_n ⋅ lim_{n → ∞} a^ρ_n = a^x₁ ⋅ a^x₂.
С другой стороны, применяя (С.3.1) и свойство (1.3) показательной функции от рационального аргумента, имеем:
lim_{n → ∞}(a^r_n ⋅ a^ρ_n) = lim_{n → ∞} a^{r_n + ρ_n} = a^{x₁ + x₂}.
Отсюда
a^{x₁ + x₂} = a^x₁ ⋅ a^x₂.

5. (a·b)^x = a^x · b^x

5. ⇑ Докажем, что
(a ⋅ b)^x = a^x ⋅ b^x.
Все рассуждения и обозначения такие же, что и при доказательстве свойства 3 ⇑. Аналогичным образом, применяя свойство (1.5) для рационального аргумента, имеем:
(a ⋅ b)^x = lim_{n → ∞}(a ⋅ b)^r_n = lim_{n → ∞}(a^r_n ⋅ b^r_n) = lim_{n → ∞} a^r_n ⋅ lim_{n → ∞} b^r_n = a^x ⋅ b^x.

5*. (a/b)^x = a^x / b^x

5*. ⇑ Докажем, что
( ab )^x = a^xb^x.
Используем следующее свойство показательной функции от рационального аргумента: ( ab )^r_n = a^r_nb^r_n. Доказываем тем же способом, что и в предыдущем случае.
( ab )^x = lim_{n → ∞}( ab )^r_n = lim_{n → ∞} a^r_nb^r_n = lim_{n → ∞} a^r_nlim_{n → ∞} b^r_n = a^xb^x.

7. a^–x = 1 / a^x

7. ⇑ Докажем, что
a^–x = 1a^x.
Аналогично предыдущему, имеем:
a^–x = lim_{n → ∞} a^–r_n = lim_{n → ∞} 1a^r_n = lim_{n → ∞} 1lim_{n → ∞} a^r_n = 1a^x.
Здесь мы учли, что a^r_n ≠ 0 и применили свойство предела частного последовательностей.

3*. a^x₁–x₂ = a^x₁ / a^x₂

3*. ⇑ Докажем, что
a^{x₁ – x₂} = a^x₁a^x₂.
Применяя доказанные выше свойства 3 ⇑ и 7 ⇑, имеем:
a^{x₁ – x₂} = a^{x₁ + (–x₂)} = a^x₁ a^–x₂ = a^x₁a^x₂.

8. Непрерывность

8. ⇑ Докажем, что показательная функция
непрерывна для всех x : –∞ < x < +∞.

8.1. Пусть a > 1.
Воспользуемся определением непрерывности функции в терминах приращений. Применяем свойство a^x > 0 ⇑ и 3 ⇑
 | a^x + Δx – a^x |  = a^x | a^Δx – 1 | .
Поскольку Δx есть сколь угодно малая величина, то считаем, что  | Δx |  ≤ 1. Применим лемму Бернулли для действительных чисел:
 | a^Δx – 1 |  ≤ 2 | Δx | (a – 1).
Тогда
 | a^x + Δx – a^x |  ≤ 2a^x | Δx | (a – 1).
Применяем свойство пределов функций, связанных неравенством:
lim_{Δx → 0} | a^x + Δx – a^x |  ≤ lim_{Δx → 0} 2a^x | Δx | (a – 1) = 2a^x (a – 1) lim_{Δx → 0} | Δx |  = 0;
lim_{Δx → 0} | a^x + Δx – a^x |  ≤ 0;
lim_{Δx → 0} a^x + Δx = a^x.

8.2. Пусть 0 < a < 1.
Введем число b = 1a. Тогда b > 1.
Воспользуемся свойством 5* ⇑, и учтем, что 1^x = 1 – постоянная функция:
a^x = ( 1b )^x = 1^xb^x = 1b^x.
Рассмотрим функцию a^x = 1b^x как сложную, составленную из двух функций:
1b^x = 1t,  t = b^x. Выше мы доказали, что функция t = b^x непрерывна для всех x. Функция  f (t) = 1t непрерывна при t ≠ 0. Это можно доказать, применяя арифметические свойства предела функции:
lim_{Δt → 0}  f (t + Δt) = lim_{Δt → 0} 1t + Δt = 1lim_{Δt → 0}(t + Δt) = 1t + 0 = 1t =  f (t).
Выше мы доказали ⇑, что t = b^x ≠ 0. Тогда согласно теореме о непрерывности сложной функции, функция a^x = 1b^x непрерывна для всех x.

8.3. Пусть a = 1.
Выше мы показали ⇑, что функция 1^x является постоянной функцией: 1^x = 1. Поэтому она является непрерывной для всех x.

4. a^x₁·x₂ = (a^x₁)^x₂

4. ⇑ Докажем, что
a^{x₁ ⋅ x₂} = ( a^x₁ )^x₂.

4.1. Рассмотрим случай x₂ > 0.
Пусть m, n – натуральные числа. Тогда
( a^x )^m = a^x ⋅ a^x ⋅ a^x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a^x_m раз.
Применяя свойство 3 ⇑, имеем:
( a^x )^m = a^{x + x + ⋅ ⋅ ⋅ + x} = a^mx;
(С.4.1)   ( a^x )^m = a^mx.

Теперь исследуем, что такое a^x / n. Введем обозначение:
(С.4.2)   b = a^x / n.
Возведем в n-ю степень. То есть умножим левую и правую части на себя n раз, и применим (С.4.1):
bⁿ = ( a^x / n )ⁿ = a^nxn = a^x;
bⁿ = a^x.
Поскольку a^x > 0 ⇑, то b есть корень степени n из положительного числа a^x:
b = ( a^x )^1 / n. Подставляя (С.4.2), имеем:
(С.4.3)   ( a^x )^1 / n = a^x / n.

Применяя свойства (С.4.1) и (С.4.3), для произвольного положительного рационального числа r = m / n получаем:
( a^x )^r = ( a^x )^m / n = ( ( a^x )^m )^1 / n = ( a^mx )^1 / n = a^mxn = a^rx;
(С.4.4)   ( a^x )^r = a^rx.

Пусть {r_n} есть произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x₂:
(С.4.5)   x₂ = lim_{n → ∞} r_n.
Используем (С.4.4):
( a^x₁ )^x₂ = lim_{n → ∞}( a^x₁ )^r_n = lim_{n → ∞} a^x₁ r_n.
Рассмотрим последовательность {x₁ ⋅ r_n}. Учитывая (С.4.5), и применяя арифметические свойства сходящихся последовательностей, получаем, что {x₁ ⋅ r_n} сходится к x₁ ⋅ x₂:
lim_{n → ∞}(x₁ r_n) = x₁lim_{n → ∞} r_n = x₁ ⋅ x₂.
Выше мы доказали, что показательная функция непрерывна ⇑. Используя определение непрерывности функции по Гейне, получаем:
lim_{n → ∞} a^x₁ r_n = a^x₁ x₂;
( a^x₁ )^x₂ = a^x₁ x₂.
Что и требовалось доказать.

4.2. Рассмотрим случай x₂ < 0.
Тогда –x₂ > 0. Применяя свойство 7 ⇑, имеем:
(a^x₁)^x₂ = (a^x₁)^{– (–x₂)} = 1(a^x₁)^–x₂ = 1a^{–x₁ x₂} = a^x₁ x₂.

4.3. Теперь пусть x₂ = 0.
Применяем (С.6) Тогда a^x₁ x₂ = a⁰ = 1.
Поскольку a^x₁ > 0 ⇑, то
(a^x₁)^x₂ = (a^x₁)⁰ = 1.
Таким образом и в этом случае
( a^x₁ )^x₂ = a^x₁ x₂.

9. Пределы при x → ±∞

9. ⇑ Докажем, что
lim_{x → –∞} a^x = 0,  lim_{x → +∞} a^x = +∞   при a > 1;
lim_{x → –∞} a^x = +∞,  lim_{x → +∞} a^x = 0   при 0 < a < 1.
9.1. Пусть a > 1.
9.1.1. Докажем, что
lim_{x → +∞} a^x = +∞.
Поскольку функция y = a^x монотонна ⇑, то согласно теореме о пределе монотонной функции, она имеет конечный или бесконечный предел
lim_{x → +∞} a^x = A.
Поскольку функция имеет предел A, то согласно определению предела функции по Гейне, для любой последовательности {x_n}, сходящейся к +∞, последовательность {a^x_n} сходится к A:
lim_{n → ∞} a^x_n = A.
Возьмем последовательность натуральных чисел x_n = n. Она сходится к +∞: lim_{n → ∞} n = +∞. Тогда
A = lim_{n → ∞} aⁿ.

Для вычисления этого предела, применим неравенство Бернулли:
aⁿ = (1 + a – 1)ⁿ ≥ 1 + (a – 1)n.
При a – 1 > 0, правая часть неравенства стремится к +∞. Применяя свойство неравенств бесконечно больших последовательностей, находим, что
lim_{n → ∞} aⁿ = +∞.
Отсюда A = +∞,  lim_{x → +∞} a^x = +∞.

9.1.2. Докажем, что
lim_{x → –∞} a^x = 0.
Сделаем подстановку x = –t. Применим свойство (С.7)   и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
lim_{x → –∞} a^x = lim_{t → +∞} a^–t = lim_{t → +∞} 1a^t = 1lim_{t → +∞} a^t = 1+∞ = 0.

9.2. Пусть 0 < a < 1.
Сделаем подстановку b = 1 / a. Тогда b > 1,
lim_{x → –∞} a^x = lim_{x → –∞}( 1b )^x = lim_{x → –∞} 1b^x = 1+0 = +∞;
lim_{x → +∞} a^x = lim_{x → +∞}( 1b )^x = lim_{x → +∞} 1b^x = 1+∞ = 0.

1. Множество значений

1. ⇑ Докажем, что при a ≠ 1 показательная функция имеет множество значений y : 0 < y < +∞.
Рассмотрим функцию y = a^x на отрезке [x₁, x₂], где x₁ < x₂ – произвольные числа. Поскольку функция строго монотонна ⇑ и определена для всех x, то она достигает минимума и максимума на концах отрезка – в точках x₁ и x₂. Поскольку функция непрерывна ⇑, то согласно теореме Больцано – Коши о промежуточном значении, она принимает все значения из отрезка y ∈ [a^x₁, a^x₂], если a > 1 и y ∈ [a^x₂, a^x₁], если 0 < a < 1. Устремляя x₁ → –∞ и x₂ → +∞, и используя найденные выше пределы ⇑ получаем, что множеством значений показательной функции является множество положительных чисел y : 0 < y < +∞.

Теорема доказана.