Определение непрерывности функции в точке
Непрерывность в точке
Определение непрерывности
- Непрерывность функции в точке
- Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности U(x0) этой точки, включая саму точку, и если предел при x стремящемся к x0 существует и равен значению функции в x0:
limx → x0 f (x) = f (x0).
Здесь подразумевается, что x0 – это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.
Если привлечь сюда определение конечного предела функции в конечной точке, то можно дать развернутую формулировку определения непрерывности функции. Поскольку имеется два равносильных определения предела функции (по Коши и по Гейне), то можно дать, как минимум, еще два эквивалентных определения непрерывности.
Если в определении предела функции в точке x0, сама точка x0 исключалась из рассмотрения, и мы применяли только проколотые окрестности этой точки, то при определении непрерывности, функция должна быть определена в этой точке и иметь значение, равное предельному. Поэтому при определении непрерывности, можно заменить проколотые окрестности точки x0 простыми окрестностями. Обычно так и делают, хотя никакого противоречия не возникнет, если и при определении непрерывности использовать проколотые окрестности.
- Непрерывность функции в точке по Гейне
- Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности U(x0) этой точки, и если для любой последовательности {xn}, сходящейся к x0: limn → ∞ xn = x0, элементы которой принадлежат окрестности U(x0), последовательность {f(xn) } сходится к f(x0):
limn → ∞ f (xn) = f (x0).
- Непрерывность функции в точке по Коши
- Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности U(x0) этой точки, и если, для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0, существует такое число δε > 0, зависящее от ε, что для всех x, принадлежащих δε - окрестности точки x0: | x – x0 | < δε, значения функции принадлежат ε - окрестности точки f(x0):
| f (x) – f (x0) | < ε.
Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности.
По Гейне:
∀{xn} : xn ∈ U(x0), limn → ∞ xn = x0 ⇒ limn → ∞ f (xn) = f (x0).
По Коши:
∀ε > 0 ∃δε > 0 ∀x, | x – x0 | < δε : | f (x) – f (x0) | < ε.
Легко видеть, что определение непрерывности отличается от определения предела только тем, что вместо проколотой окрестности точки x0 используется просто окрестность точки, которая содержит x0. При этом значение предела может быть равным только значению функции в этой точке: f (x0).
Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную Δx = x – x0, которая называется приращением переменной x в точке x0. Далее мы рассматриваем новую функцию:
Δ f = f (x) – f (x0) = f (x0 + Δx) – f (x0).
Ее называют приращением функции в точке x0. Считаем, что она зависит от переменной Δx: Δ f = f (x0 + Δx) – f (x0). Тогда можно дать еще одно определение.
- Непрерывность функции в точке в терминах приращений
- Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности U(x0) этой точки, и если предел приращения Δ f = f (x0 + Δx) – f (x0) этой функции в точке x0, при Δx → 0, равен нулю:
limΔx → 0 Δ f = 0.
Полезно дать определение односторонней непрерывности, аналогичное определению односторонних пределов.
- Непрерывность функции справа (слева)
- Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности U(x0 + 0) (U(x0 – 0)) этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0:
f (x0 + 0) ≡ limx → x0 + 0 f (x) = f (x0) ( f (x0 – 0) ≡ limx → x0 – 0 f (x) = f (x0)).
Определение отсутствия непрерывности
Теперь приведем определение того, что функция f (x) не является непрерывной в точке x0.
если предела функции при x → x0 не существует,
или он не равен значению функции в точке x0:
limx → x0 f (x) ≠ f (x0).
По Гейне это означает, что существует такая последовательность xn → x0, для которой предел limn → ∞ f (xn) либо не существует, либо он не равен f (x0):
∃{xn} : xn ∈ U(x0), limn → ∞ xn = x0 ⇒ limn → ∞ f (xn) ≠ f (x0).
По Коши это означает, что существует такое ε > 0, так что для любого δ > 0 существует x : | x – x0 | < δ, для которого | f (x) – f (x0) | ≥ ε:
∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x, | x – x0 | < δ : | f (x) – f (x0) | ≥ ε.
Непрерывность на отрезке
В рассмотренных выше определениях непрерывности в точке считается, что функция определена на некоторой окрестности слева и справа от точки x0. Если функция определена на некотором отрезке [a, b], то мы можем применять эти определения для внутренних точек отрезка, для которых a < x0 < b. Для концов отрезка a и b можно использовать определение односторонней непрерывности.
- Функция, непрерывная на отрезке
- Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b] (то есть при x : a ≤ x ≤ b), если она непрерывна во всех точках интервала (a, b) (то есть во всех точках x : a < x < b ), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
Примеры
Все примеры Доказать, что следующие функции непрерывны на своих областях определения:
1) f (x) = x 4, используя определения непрерывности по Гейне и Коши ⇓;
2) f (x) = 4 √ x , используя определение непрерывности по Коши ⇓.
Пример 1
Все примеры ⇑ Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция f (x) = x 4 непрерывна для всех x.
Решение
Пусть x0 есть произвольное число. Докажем, что заданная функция непрерывна в точке x0. Функция определена для всех x. Поэтому она определена в точке x0 и в любой ее окрестности.
Используем определение по Гейне
Используем определение непрерывности по Гейне ⇑. Пусть {xn} есть произвольная последовательность, сходящаяся к x0: limn → ∞ xn = x0. Применяя свойство предела произведения последовательностей имеем:
limn → ∞ f (xn) = limn → ∞ x 4n = ( limn → ∞ xn ) 4 = x 40 = f (x0).
Поскольку {xn} есть произвольная последовательность, сходящаяся к x0, то
limx → x0 f (x) = f (x0).
Непрерывность доказана.
Используем определение по Коши
Используем определение непрерывности по Коши ⇑.
Рассмотрим случай x0 ≠ 0. Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки x0. Поэтому будем считать, что
(П1.1) | x | < 2 | x0 | .
Применим формулу:
x 4 – x 40 = (x – x0)(x 3 + x 2 x0 + xx 20 + x 30).
Учитывая (П1.1), сделаем оценку:
| x 3 + x 2 x0 + xx 20 + x 30 | ≤ | x | 3 + x 2 | x0 | + | x | x 20 + | x0 | 3 <
(2 | x0 | ) 3 + (2 | x0 | ) 2 | x0 | + 2 | x0 | x 20 + | x0 | 3 = 8 | x0 | 3 + 4 | x0 | 3 + 2 | x0 | 3 + | x0 | 3 = 15 | x0 | 3;
(П1.2) | x 3 + x 2 x0 + xx 20 + x 30 | < 15 | x0 | 3.
Применяя (П1.2), оценим абсолютную величину разности:
| f (x) – f (x0) | = | x 4 – x 40 | = | x – x0 | | x 3 + x 2 x0 + xx 20 + x 30 | < 15 | x0 | 3 | x – x0 | ;
(П1.3) | f (x) – f (x0) | < 15 | x0 | 3 | x – x0 | .
Вводим положительные числа δ и ε, связав их соотношениями:
| f (x) – f (x0) | < 15 | x0 | 3 | x – x0 | < 15 | x0 | 3 δ = ε.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П1.3), если 15 | x0 | 3 | x – x0 | < 15 | x0 | 3 δ и если 15 | x0 | 3 δ = ε, то | f (x) – f (x0) | < ε.
Это означает, что для любого положительного ε всегда найдется δ = ε15 | x0 | 3. Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству | x – x0 | < δ, автоматически выполняется неравенство:
| f (x) – f (x0) | < ε.
Это означает, что функция непрерывна в точке x0 ≠ 0.
Теперь рассмотрим точку x0 = 0. В этом случае
| f (x) – f (0) | = | x 4 – 0 4 | = x 4.
Вводим положительные числа δ и ε:
| f (x) – f (0) | = x 4 < δ 4 = ε.
Отсюда видно, что для любого положительного ε всегда найдется δ = 4 √ ε . Тогда для всех x, таких что | x – 0 | < δ, выполняется неравенство:
| f (x) – f (0) | < ε.
Это означает, что функция непрерывна в точке x0 = 0.
Аналогичным способом можно доказать, что функция f (x) = x n, где n – натуральное число, непрерывна на всей действительной оси.
Пример 2
Все примеры ⇑ Используя определение непрерывности по Коши ⇑ доказать, что функция f (x) = 4 √ x непрерывна для всех x ≥ 0.
Решение
Заданная функция определена при x ≥ 0. Докажем, что она непрерывна в точке x0.
Рассмотрим случай x0 > 0.
Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки x0. Поэтому будем считать, что
(П2.1) x > x0 / 2.
Применим формулу:
(П2.2) a 4 – b 4 = (a – b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3).
Положим a = 4 √ x , b = 4 √ x0 . Тогда
a 4 – b 4 = x – x0, a – b = 4 √ x – 4 √ x0 .
Учитывая (П2.1), сделаем оценку:
a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 = x 34 + x 24 x 140 + x 14 x 240 + x 340 >
2 – 34 x 340 + 2 – 24 x 240 x 140 + 2 – 14 x 140 x 240 + x 340 > 2 –1 x 340 + 2 –1 x 340 + 2 –1 x 340 + 2 –1 x 340 =
2x 340 > (2x0) 34.
Итак,
x 34 + x 24 x 140 + x 14 x 240 + x 340 > (2x0) 34.
Применяя это неравенство, и используя (П2.2), оценим разность:
| f (x) – f (x0) | = | 4 √ x – 4 √ x0 | = | x – x0 | x 34 + x 24 x 140 + x 14 x 240 + x 340 < | x – x0 | (2x0) 34 =
(2x0) – 34 | x – x0 | .
Итак,
(П2.3) | f (x) – f (x0) | < (2x0) – 34 | x – x0 | .
Вводим положительные числа δ и ε, связав их соотношениями:
| f (x) – f (x0) | < (2x0) – 34 | x – x0 | < (2x0) – 34 δ = ε.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П2.3), если (2x0) – 34 | x – x0 | < (2x0) – 34 δ и если (2x0) – 34 δ = ε, то | f (x) – f (x0) | < ε.
Это означает, что для любого положительного ε всегда найдется δ = (2x0) 34 ε. Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству | x – x0 | < δ, автоматически выполняется неравенство:
| f (x) – f (x0) | < ε.
Это означает, что функция непрерывна в точке x0.
Теперь рассмотрим точку x0 = 0. Нам нужно показать, что заданная функция непрерывна в этой точке справа. В этом случае
| f (x) – f (0) | = | 4 √ x – 4 √ 0 | = 4 √ x .
Вводим положительные числа δ и ε:
| f (x) – f (0) | = 4 √ x < δ 14 = ε.
Отсюда видно, что для любого положительного ε всегда найдется δ = ε 4. Тогда для всех x, таких что 0 ≤ x – 0 < δ, выполняется неравенство:
| f (x) – f (0) | < ε.
Это означает, что limx → 0 + 0 f (x) = f (0) = 0. То есть функция непрерывна справа в точке x0 = 0.
Аналогичным способом можно доказать, что функция f (x) = n √ x , где n – натуральное число, непрерывна при x ≥ 0.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: