Методы решения физико-математических задач

График обратной функции

График квадратичной параболы и обратной функции - квадратного корня
Доказательство свойства симметрии графиков прямой и обратной функций. Примеры графиков прямых и обратных функций: параболы и корни, степенные функция и логарифмы, тригонометрические функции и обратные к ним. Применение операции сужения функции.
Содержание
См. также:

Свойство симметрии графиков обратных функций

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X,
и имеет множество значений Y:  f (X) ∈ Y.
И пусть она имеет на множестве X обратную функцию f -1:  f  –1 (Y) ∈ X.
Тогда графики прямой  f  и обратной  f  –1 функций, построенные при значениях их аргументов x ∈ X и x ∈ Y, соответственно, симметричны относительно прямой y = x.
Доказательство

Пусть A(xA, yA) – произвольная точка графика прямой функции y =  f (x), с аргументом, принадлежащим множеству X:
(1)   yA =  f (xA),  xA ∈ X.
Построим точку S(xs, ys), симметричную точке A(xA, yA) относительно прямой y = x, и выразим ее координаты через координаты точки A.

Симметрия графиков прямой и обратной функций
График обратной функции y = f  –1(x) симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно прямой y = x.

Для этого через точку A проводим прямую, перпендикулярную прямой y = x. Пусть C – точка пересечения этих прямых. Далее, на проведенной прямой, откладываем точку S, симметричную точке A относительно прямой y = x. При этом
 | AC |  =  | CS | ;
ACO = OCS = 90 ○.

Из точек A и S опустим перпендикуляры AAx,  AAy,  SSx,  SSy на оси координат. Поскольку прямая y = x составляет угол 45 ○ с осями координат, то и перпендикулярная ей прямая AS также составляет угол 45 ○ с осями координат. Тогда AAy и SSx пересекутся в точке D, принадлежащей прямой y = x. При этом углы у оснований треугольников DAC и SDC равны 45 ○. По этой причине они являются равнобедренными. А поскольку  | AC |  =  | CS | , то они конгруэнтны. Тогда  | AD |  =  | DS | , и, следовательно,
(2)    | Sx Ax |  =  | Ay Sy | .

В треугольниках DOSx и ODAy углы при вершинах O и D равны 45 ○, а при вершинах Sx,  Ay равны 90 ○. Поэтому они равнобедренные и подобные. А поскольку они имеют общее основание OD, то они конгруэнтны. Тогда
(3)    | OSx |  =  | OAy | .

Используя (2) и (3) имеем:
yS =  | OAy |  +  | Ay Sy |  =  | OSx |  +  | Sx Ax |  =  | OAx |  = xA;
xS =  | OSx |  =  | OAy |  = yA.
Итак, мы выразили координаты симметричной точки S через координаты точки A:
(4)   yS = xA;
(5)   xS = yA.

Поскольку точка A(xA,  yA) принадлежит графику функции f, то ее координаты связаны уравнением:
(1)   yA =  f (xA).
Поскольку, по условию, f имеет обратную функцию, то
xA =  f  –1 (yA).
Подставляя (4) и (5) находим:
yS =  f  –1 (xS).
То есть мы получили, что симметричная точка S принадлежит графику обратной функции.

Так как мы выбрали точку A произвольно, то это относится ко всем точкам графика y =  f (x),  x ∈ X.
Все точки графика функции y =  f (x),  x ∈ X, симметрично отраженные относительно прямой y = x, принадлежат графику обратной функции y =  f  –1 (x).
Далее мы можем поменять  f  и  f  –1 местами. В результате получим, что
все точки графика функции y =  f  –1 (x),  x ∈ Y, симметрично отраженные относительно прямой y = x, принадлежат графику функции y =  f (x).
Отсюда следует, что графики функций y =  f (x) и y =  f  –1 (x) симметричны относительно прямой y = x.

Свойство доказано.

Примеры графиков обратных функций

Некоторые функции являются непрерывными и строго монотонными на всей области определения. Поэтому они имеют обратные функции, и их графики симметричны относительно прямой y = x. Например, кубическая парабола  f (x) = x 3 строго возрастает для всех x. Поэтому она имеет обратную функцию  f  –1 (x) = 3 √ x , график которой симметричен графику параболы относительно прямой y = x.

Существуют функции, которые не являются монотонными на всей области определения. Однако можно указать интервал X, на котором такая функция определена, непрерывна и строго монотонна. В этом случае можно выполнить операцию сужения функции на множество X:  f  | X. То есть рассматривать только значения аргумента, принадлежащие интервалу X. Тогда на этом интервале она будет иметь обратную функцию. В результате графики суженной функции  f  | X и обратной функции будут симметричны относительно прямой y = x.

Например, квадратичная парабола,  f (x) = x 2, определена и непрерывна для всех x, но не является монотонной. Но она строго возрастает при x ≥ 0, то есть на множестве X = {x : x ≥ 0}. Тогда сужение параболы  f (x) = x 2 | x ≥ 0 имеет обратную функцию  f  –1 (x) = √ x . Их графики симметричны относительно прямой y = x.

Тригонометрическая функция sin x также не является монотонной, но она непрерывна и строго возрастает при – π2 ≤ x ≤ π2. Тогда ее сужение sin x | – π2 ≤ x ≤ π2 имеет обратную функцию arcsin x. Их графики также симметричны относительно прямой y = x.

Ниже приводятся графики некоторых элементарных функций. Для некоторых из них выполнена операция сужения, и построен график обратной функции.

Графики x в квадрате и корень из x
График параболы y = x2 и обратной функции – квадратного корня y = √x.
График кубической параболы и кубического корня
График кубической параболы y = x3 и обратной функции – кубического корня y = √3x.

Графики 2 в степени x и логарифм по основанию 2
График показательной функции с основанием 2, y = 2x и обратной функции – логарифма с основанием 2, y = log2 x.
Графики экспонента и натуральный логарифм
График экспоненты y = ex и обратной функции – натурального логарифма y = ln x.

Графики sin(x) и arcsin(x)
График синуса y = sin x и обратной функции – арксинуса y = arcsin x.
Графики cos(x) и arccos(x)
График косинуса y = cos x и обратной функции – арккосинуса y = arccos x.

Графики tg(x) и arctg(x)
График тангенса y = tg x и обратной функции – арктангенса y = arctg x.
Графики ctg(x) и arcctg(x)
График котангенса y = ctg x и обратной функции – арккотангенса y = arcctg x.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

См. также:
▲
Меню