Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении

Вторая теорема Больцано – Коши о промежуточном значении

Пусть функция  f  непрерывна на отрезке [a,b].
И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: A = f(a) и B = f(b).
Тогда существует точка ξ ∈ [a,b], для которой
f(ξ) = C.
Доказательство ⇓

Следствие 1 (первая теорема Больцано – Коши)

Пусть функция  f  непрерывна на отрезке [a, b].
И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки:  f (a) > 0,   f (b) < 0 или  f (a) < 0,   f (b) > 0.
Тогда существует точка ξ ∈ (a, b), значение функции в которой равно нулю:
 f (ξ) = 0.

Следствие 2

Пусть функция  f  непрерывна на отрезке [a, b].
И пусть m = min_[a,b]  f ,  M = max_[a,b]  f .
Тогда функция принимает на отрезке все значения из [m, M] и только эти значения:
m ≤  f (x) ≤ M  при  a ≤ x ≤ b.

Доказательство второй теоремы Больцано – Коши

Формулировка ⇑

Рассмотрим случай  f (a) ≤ C ≤  f (b).
Разделим отрезок [a, b] пополам точкой c₁ = (a + b) / 2.
Если  f (c₁) ≥ C, то выберем левую половину:
a₁ = a,  b₁ = c₁.
В противном случае выберем правую половину:
a₁ = c₁,  b₁ = b.
В результате получим отрезок [a₁, b₁], на котором
 f (a₁) ≤ C ≤  f (b₁).

Отрезок [a₁, b₁] также разделим пополам точкой c₂ = (a₁ + b₁) / 2.
Если  f (c₂) ≥ C, то выберем левую половину:
a₂ = a₁,  b₂ = c₂.
В противном случае выберем правую половину:
a₂ = c₂,  b₂ = b₁.
В результате получим отрезок [a₂, b₂], на котором
 f (a₂) ≤ C ≤  f (b₂).

Продолжая процесс деления, получаем последовательность вложенных отрезков:
[a₁, b₁],  [a₂, b₂], ...,  [a_n, b_n], ....
Для каждого отрезка выполняются неравенства:
(3.1)    f (a_n) ≤ C ≤  f (b_n).

Поскольку длина отрезка  | b_n – a_n |  = b – a2ⁿ стремится к нулю, при n → ∞, то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка ξ ∈ [a, b], к которой сходятся последовательности {a_n} и {b_n}:
(3.2)   lim_{n → ∞} a_n = lim_{n → ∞} b_n = ξ,  ξ ∈ [a, b].

Рассмотрим последовательности { f (a_n)} и { f (b_n)}. Используя (3.2) и учитывая непрерывность функции  f (x) на отрезке [a, b], применим определение непрерывности функции в точке по Гейне. Тогда
(3.3)   lim_{n → ∞}  f (a_n) = lim_{n → ∞}  f (b_n) =  f (ξ).

Рассмотрим неравенства (3.1):
(3.1)    f (a_n) ≤ C ≤  f (b_n).
Применяя (3.3) и используя свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами, имеем:
 f (ξ) ≤ C ≤  f (ξ), или
C ≤  f (ξ) ≤ C.
Отсюда следует, что  f (ξ) = C.

Для случая  f (a) ≤ C ≤  f (b) теорема доказана.
Теперь рассмотрим случай  f (a) ≥ C ≥  f (b).
Здесь доказательство остается тем же самым, только знаки неравенств меньше или равно нужно заменить на больше или равно:
≤ → ≥.

Теорема доказана.