Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определения и теоремы
- Функция, непрерывная на отрезке
- Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b] (при a ≤ x ≤ b), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (a, b) (при a < x < b) и непрерывна справа и слева в точках a и b, соответственно.
Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b],то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство
- Достижимость максимума (минимума) функции на множестве
- Функция f достигает своего максимума (минимума) на множестве X, если существует такой аргумент xm ∈ X, для которого
f (xm) ≥ f (x) ( f (xm) ≤ f (x)) для всех x ∈ X. - Достижимость верхней (нижней) грани функции на множестве
- Функция f достигает своей верхней (нижней) грани на множестве X, если существует такой аргумент xm ∈ X, для которого
f (xm) = supX f (x) ( f (xm) = infX f (x)).
Легко заметить, что эти определения эквивалентны.
Если xm ∈ X и f (xm) = maxX f (x), то f (xm) = supX f (x).
Если xm ∈ X и f (xm) = supX f (x), то f (xm) = maxX f (x).
Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале X = {x : 0 < x < 1} задана функция f (x) = x. На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
supx ∈ X f (x) = 1, infx ∈ X f (x) = 0.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого x0 ∈ X всегда можно указать такие числа x1 = (x0 + 1) / 2 и x2 = x0 / 2, принадлежащие X, значения функции от которых будут больше и меньше x0:
f (x1) > f (x0), f (x2) < f (x0).
На отрезке X = {x : 0 ≤ x ≤ 1} функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
supx ∈ X f (x) = maxx ∈ X f (x) = f (1) = 1, infx ∈ X f (x) = minx ∈ X f (x) = f (0) = 0.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: +∞ (–∞), а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.
Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани.
Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функциядостигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое,
достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Доказательство
Эта теорема означает, что существуют такие точки x1 и x2, принадлежащие отрезку [a, b]: x1, x2 ∈ [a, b], значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням:
f (x1) = infx ∈ [a,b] f (x), f (x2) = supx ∈ [a,b] f (x).
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
f (x) ≥ infx ∈ [a,b] f (x) при x ∈ [a, b],
f (x) ≤ supx ∈ [a,b] f (x) при x ∈ [a, b],
и поскольку x1, x2 ∈ [a, b], то f (x1) и f (x2) являются минимумом и максимумом функции на отрезке [a, b].
Вторая теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b].И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: A = f (a) и B = f (b).
Тогда существует точка ξ ∈ [a, b], для которой
f (ξ) = C.
Доказательство
Следствие 1 (первая теорема Больцано – Коши)
Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b].И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: f (a) > 0, f (b) < 0 или f (a) < 0, f (b) > 0.
Тогда существует точка ξ ∈ (a, b), значение функции в которой равно нулю:
f (ξ) = 0.
Следствие 2
Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b].И пусть m = min[a,b] f , M = max[a,b] f .
Тогда функция принимает на отрезке все значения из [m, M] и только эти значения:
m ≤ f (x) ≤ M при a ≤ x ≤ b.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: