Методы решения физико-математических задач

Непрерывность функции на отрезке – определение и теоремы

Свойства непрерывных на отрезке функций
Определение и доказательства основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении.

Определения и теоремы

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a и b, соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство ⇓

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция . На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и , принадлежащие , значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: , а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.

Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Доказательство ⇓

Эта теорема означает, что существуют такие точки и , принадлежащие отрезку : , значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням:
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку , то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .

Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.
Доказательство ⇓

Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.

Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
  при  .

Доказательства теорем

Доказательство первой теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции

Формулировка ⇑

Допустим противное. Пусть функция не ограничена при . Это означает, что для любого всегда можно найти такое , что .

Задавая последовательно значения , мы получим последовательность , элементы которой принадлежат отрезку : , и для которых
(1.1)   .
Рассмотрим последовательность . Учитывая (1.1), и поскольку , то по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
(1.2)   .

Рассмотрим последовательность . Согласно теореме Больцано - Вейерштрасса, из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу . Эту подпоследовательность обозначим как . Тогда
.
Поскольку , то по свойству пределов последовательностей, связанных неравенствами,
.

Далее, есть подпоследовательность последовательности , которая имеет предел (1.2). Поскольку предел любой подпоследовательности равен пределу последовательности, то
.

Итак, мы нашли последовательность , сходящуюся при к числу . И для этой последовательности
(1.3)   .
Это противоречит определению непрерывности по Гейне, согласно которому предел последовательности должен равняться конечному числу – значению функции в точке :
.
Тогда и предел модуля (1.3), также должен равняться конечному числу:
.

Теорема доказана.

Доказательство второй теоремы Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции

Формулировка ⇑

Доказательство для максимума

Докажем сначала теорему для максимума. Пусть число является верхней гранью значений функции на отрезке : . Согласно первой теореме Вейерштрасса ⇑, функция ограничена на этом отрезке. Поэтому – конечное число. Нам нужно показать, что
, где .

По определению верхней грани, выполняются следующие условия:
1)  для всех ;
2)  для любого , существует такое, что
.

Положим . Тогда существует такая точка , для которой
, или
.

Таким образом мы построили последовательности и , элементы которых удовлетворяют неравенствам:
;
.
Покажем, что .
Для этого изменим последнее неравенство и введем числа и :
.
Отсюда видно, что для любого всегда можно указать натуральное число . Тогда для всех , . Согласно определению предела последовательности это означает, что
(2.1)   .

Рассмотрим последовательность . Согласно теореме Больцано - Вейерштрасса, из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу . Эту подпоследовательность обозначим как . Тогда
.
Поскольку , то по свойству пределов последовательностей, связанных неравенствами,
.

Рассмотрим последовательность . Она является подпоследовательностью последовательности . Поскольку сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому
(2.2)   .

Поскольку при , то согласно определению непрерывности по Гейне, (2.3)   .

Поскольку сходящаяся последовательность может иметь только один предел, то из (2.2) и (2.3) следует, что
.
То есть верхняя грань равна значению функции в одной из точек отрезка . Поэтому также является максимальным значением функции на этом отрезке.
Для максимума теорема доказана.

Доказательство для минимума

Доказательство теоремы для минимума аналогично предыдущему. Изложим его вкратце.

Пусть . Тогда
1)  для всех ;
2)  для любого , существует такое, что
.

Полагая , мы получим последовательности , и элементы которых удовлетворяют неравенствам:
;
.
из последней строчки видно, что
(2.4)   .

Из последовательности выделим подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу :
.
Поскольку , то по свойству неравенств,
.

Рассмотрим последовательность . Она является подпоследовательностью последовательности . Поскольку сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому
(2.5)   .

Поскольку при , то согласно определению непрерывности по Гейне, (2.6)   .

Поскольку сходящаяся последовательность может иметь только один предел, то
.
То есть нижняя грань равна значению функции в одной из точек отрезка . Поэтому также является минимальным значением функции на этом отрезке.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы Больцано – Коши о промежуточном значении

Формулировка ⇑

Рассмотрим случай .
Разделим отрезок пополам точкой .
Если , то выберем левую половину:
.
В противном случае выберем правую половину:
.
В результате получим отрезок , на котором
.

Отрезок также разделим пополам точкой .
Если , то выберем левую половину:
.
В противном случае выберем правую половину:
.
В результате получим отрезок , на котором
.

Продолжая процесс деления, получаем последовательность вложенных отрезков:
.
Для каждого отрезка выполняются неравенства:
(3.1)   .

Поскольку длина отрезка стремится к нулю, при , то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка , к которой сходятся последовательности и :
(3.2)   .

Рассмотрим последовательности и . Используя (3.2) и учитывая непрерывность функции на отрезке , применим определение непрерывности функции в точке по Гейне. Тогда
(3.3)   .

Рассмотрим неравенства (3.1):
(3.1)   .
Применяя (3.3) и используя свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами, имеем:
, или
.
Отсюда следует, что .

Для случая теорема доказана.
Теперь рассмотрим случай .
Здесь доказательство остается тем же самым, только знаки неравенств меньше или равно нужно заменить на больше или равно:
.

Теорема доказана.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано: