Методы решения физико-математических задач

Непрерывность функции на отрезке – определение и теоремы

Свойства непрерывных на отрезке функций
Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении.

Определения и теоремы

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a и b, соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Легко заметить, что эти определения эквивалентны. Если при ,
, то .
Если , то .

Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция . На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и , принадлежащие , значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: , а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.

Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Доказательство

Эта теорема означает, что существуют такие точки и , принадлежащие отрезку : , значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням:
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку , то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .

Вторая теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.
Доказательство

Следствие 1 (первая теорема Больцано – Коши)
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.

Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
  при  .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:   Изменено: