Теорема Кантора о равномерной непрерывности

Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке

Доказательство

Пусть функция  f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Допустим, что она не равномерно непрерывна на этом отрезке. Это означает, что существует такое положительное число ε > 0, что при любом положительном числе δ > 0, следующая система неравенств имеет решение.

Возьмем любую последовательность положительных чисел δ_n, сходящуюся к нулю,
(2.2)   lim_{n → ∞} δ_n = 0.
По предположению, система имеет решение при любом δ, в том числе и при δ = δ_n.

Пусть x_1n, x_2n – произвольное решение системы (2.1) при δ = δ_n. Последовательность {x_1n} ограничена: a ≤ x_1n ≤ b. Тогда по теореме Больцано-Веерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному числу c ∈ [a, b]. Обозначим ее как {x_1nk},
(2.3)   lim_{k → ∞} x_1nk = c ∈ [a, b].

Покажем, что и последовательность {x_2nk} сходится к этому же числу. Для этого применим второе неравенство системы,  | x_1nk – x_2nk |  < δ_nk:
 | x_2nk – c |  =  | x_2nk – x_1nk + x_1nk – c |  ≤  | x_2nk – x_1nk |  +  | x_1nk – c |  < δ_nk +  | x_1nk – c | ;
 | x_2nk – c |  < δ_nk +  | x_1nk – c | .
Применим свойство пределов последовательностей, связанных неравенством, и арифметические свойства пределов, а также (2.2) и (2.3).
lim_{k → ∞} | x_2nk – c |  ≤ lim_{k → ∞} δ_nk + lim_{k → ∞} | x_1nk – c | ;
lim_{k → ∞} | x_2nk – c |  ≤ 0 + 0.
Отсюда получаем, что существует предел последовательности {x_2nk}, и он равен c:
lim_{k → ∞} x_2nk = c.

В силу непрерывности функции,
lim_{k → ∞}  f (x_1nk) = lim_{k → ∞}  f (x_2nk) =  f (c).
Применяя к первому неравенству системы  |  f (x_1nk) –  f (x_2nk) |  ≥ ε, получаем.
lim_{k → ∞} |  f (x_1nk) –  f (x_2nk) |  ≥ ε;
 | lim_{k → ∞}  f (x_1nk) – lim_{k → ∞}  f (x_2nk) |  ≥ ε;
 | c – c |  ≥ ε;
0 ≥ ε.
Это неравенство может выполняться только при ε = 0, что противоречит условию ε > 0.

Теорема доказана.