Непрерывность и свойства степенной функции

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)

Степенная функция,   y = x ^p, с показателем p
имеет следующие свойства:
(1.1)   определена и непрерывна на множестве
{x : x ≥ 0} при p > 0,
{x : x > 0} при p < 0;
(1.2)   имеет множество значений
{y : y ≥ 0} при p > 0,
{y : y > 0} при p < 0;
(1.3)   строго возрастает при p > 0,
строго убывает при p < 0;
(1.4)   0^p = 0,  lim_{x → +∞} x^p = +∞   при p > 0;
lim_{x → 0 + 0} x^p = +∞,  lim_{x → +∞} x^p = 0   при p < 0;
(1.5)   x^p + q = x^p ⋅ x^q;
(1.5*)   x^p – q = x^px^q;
(1.6)   ( x^p )^q = x^p ⋅ q = ( x^q )^p;
(1.7)   (x₁ ⋅ x₂)^p = x^p₁ ⋅ x^p₂;
(1.7*)   ( x₁x₂ )^p = x^p₁x^p₂;
(1.8)   x⁰ = 1;
(1.9)   x^–p = 1x^p.

Доказательство свойств

Для доказательства свойств, представим степенную функцию y = x^p как сложную:
(2)   y = a^{p log_a x}.
Используем следующие обозначения:
(3)   y = P(t(x)), где P(t) = a^t,  t(x) = p log_a x.
В качестве a возьмем произвольное число a > 1. При доказательстве будем использовать свойства показательной функции и логарифмической.

1.1. Найдем область определения. Логарифмическая функция z = log_a x определена при x > 0. Показательная функция y = a^t определена для всех t. Поэтому степенная функция (2) определена при x > 0. Кроме этого, согласно определению, при p > 0, степенная функция определена в точке x = 0.

Исследуем на непрерывность. Поскольку логарифм и показательная функция непрерывны на своих областях определения, то, по теореме о непрерывности сложной функции, степенная функция непрерывна при x > 0.

Рассмотрим случай p > 0. Покажем, что показательная функция непрерывна в точке x = 0 слева. Применяя теорему о пределе сложной функции, имеем:
lim_{x → 0 + 0} x^p = lim_{x → 0 + 0} a^{p log_a x} = a^{p log_a (0 + 0)} = a^–∞ = 0.
Здесь мы использовали общепринятые обозначения:
 f (±∞) ≡ lim_{x → ±∞}  f (x),    f (a ± 0) ≡ lim_{x → a ± 0}  f (x).
Таким образом, lim_{x → 0 + 0} x^p = 0^p. Непрерывность в точке x = 0 слева доказана.

1.4. Найдем пределы на границе области определения.
Пусть p > 0.
По определению, 0^p = 0.
Находим предел при x → +∞, аналогично предыдущему:
lim_{x → +∞} x^p = lim_{x → +∞} a^{p log_a x} = a^{p log_a (+∞)} = a^+∞ = +∞.
Пусть p < 0. Тогда
lim_{x → 0 + 0} x^p = lim_{x → 0 + 0} a^{p log_a x} = a^{p log_a (0 + 0)} = a^+∞ = +∞;
lim_{x → +∞} x^p = lim_{x → +∞} a^{p log_a x} = a^{p log_a (+∞)} = a^–∞ = 0.

1.3. Докажем, что степенная функция строго монотонна на области определения.
При p > 0, функции t(x) = p log_a x и P(t) = a^t строго возрастают. Поэтому сложная функция y = P(t(x)) также строго возрастает.
Поскольку 0^p = 0 и при x > 0, x^p > 0, то степенная функция строго возрастает на области определения {x : 0 ≤ x < +∞}.
При p < 0, функция t(x) = p log_a x строго убывает, а функция P(t) = a^t строго возрастает. Поэтому сложная функция y = P(t(x)) строго убывает на области определения {x : 0 < x < +∞}.

1.2. Найдем множество значений степенной функции y = x^p.
Для этого рассмотрим ее на отрезке [x₁, x₂], где 0 < x₁ < x₂. Поскольку функция на этом отрезке строго монотонна, то она достигает минимума и максимума на его концах – в точках x₁ и x₂. Как мы уже доказали, степенная функция непрерывна на своей области определения. Тогда, согласно теореме Больцано – Коши о промежуточном значении, она принимает все значения из отрезка y ∈ [x^p₁, x^p₂], если p > 0 и y ∈ [x^p₂, x^p₁], если p < 0. Устремляя x₁ → 0 и x₂ → +∞, и используя найденные выше пределы получаем, что множеством значений показательной функции является множество неотрицательных чисел {y : 0 ≤ y < +∞} при p > 0, и множество положительных чисел {y : 0 < y < +∞} при p < 0.

Свойства (1.1-4) доказаны.

1.5-9. Доказательство свойств (1.5-9) приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции»