Теоремы о существовании и непрерывности обратной функции

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке

Пусть функция  f  непрерывна
и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a, b].
Тогда на отрезке [ min_[a,b]  f , max_[a,b]  f  ] определена и непрерывна обратная функция  f ^–1, которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции min_[a,b]  f  =  f (a),  max_[a,b]  f  =  f (b).
Для убывающей: min_[a,b]  f  =  f (b),  max_[a,b]  f  =  f (a).

Доказательство

Пусть X = {x : a ≤ x ≤ b} обозначает область определения функции  f  – отрезок [a, b].

1. Множество значений функции f

1. Покажем, что множеством значений Y функции  f  является отрезок [ m, M ]:
Y = {y : m ≤ y ≤ M},
где m = min_[a,b]  f ,  M = max_[a,b]  f .

Действительно, поскольку функция непрерывна на отрезке [a, b], то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем минимума m и максимума M. Тогда по теореме Больцано – Коши функция принимает все значения из отрезка [m, M]. То есть для любого c ∈ [m, M] существует x₀ ∈ [a, b], для которого  f (x₀) = c. Поскольку m и M есть минимум и максимум, то функция принимает на отрезке [a, b] только значения из множества Y.

2. Существование и монотонность обратной функции

2. Поскольку функция строго монотонна, то согласно теореме о существовании и монотонности обратной функции, существует обратная функция  f ^–1, которая также строго монотонна (возрастает, если возрастает  f ; и убывает, если убывает  f ). Областью определения обратной функции является множество Y, а множеством значений – множество X.

3. Доказательство непрерывности

3. Теперь докажем, что обратная функция непрерывна.

3.1. Функция строго возрастает

3.1. Пусть  f (x) строго возрастает. При этом обратная функция  f ^–1 (y) также строго возрастает; m = min_[a,b]  f  =  f (a);   M = max_[a,b]  f  =  f (b).

3.1.1. Внутренняя точка отрезка

3.1.1. Пусть y₀ есть произвольная внутренняя точка отрезка [m, M]: m < y₀ < M. Докажем, что обратная функция  f ^–1 (y) непрерывна в этой точке.

Поскольку обратная функция строго монотонна, то x₀ =  f ^–1 (y₀) есть внутренняя точка отрезка [a, b]:
a < x₀ < b.

Согласно определению непрерывности, нам нужно доказать, что для любого ε > 0 имеется такая функция δ = δ(ε), при которой
(3.1)    |  f ^–1 (y) –  f ^–1 (y₀) |  < ε для всех  | y – y₀ |  < δ(ε).

При доказательстве мы используем следующие обозначения:
y =  f (x);  x =  f ^–1 (y); 
y₀ =  f (x₀);  y₁ =  f (x₁);   y₂ =  f (x₂); 
x₀ =  f ^–1 (y₀); x₁ =  f ^–1 (y₁);    x₂ =  f ^–1 (y₂).

Рассмотрим и преобразуем неравенство:
 |  f ^–1 (y) –  f ^–1 (y₀) |  < ε;
 | x – x₀ |  < ε;
–ε < x – x₀ < ε;
(3.2)   x₀ – ε < x < x₀ + ε.

Возьмем произвольное положительное число ε. Положим
x₁ = x₀ – ε,  x₂ = x₀ + ε.
Если числа x₁ и/или x₂ выходят за границы отрезка [a, b], то положим x₁ = a, и/или x₂ = b. То есть возьмем
x₁ = max(x₀ – ε, a);   x₂ = min(x₀ + ε, b).
Используя (3.2), для (3.1) имеем:
(3.3)   x₀ – ε ≤ x₁ < x < x₂ ≤ x₀ + ε.

Как мы только что выяснили, существует обратная функция  f ^–1 (y), и она строго возрастает. Тогда если значения переменной y принадлежат интервалу y₁ < y < y₂, то значения переменной x принадлежат интервалу x₁ < x < x₂. Возьмем δ = min(y₀ – y₁, y₂ – y₀). Тогда
y₁ ≤ y₀ – δ < y < y₀ + δ ≤ y₂.
То есть все значения переменной y, принадлежащие интервалу y₀ – δ < y < y₀ + δ, принадлежат интервалу y₁ < y < y₂. Но y₀ – δ < y < y₀ + δ можно записать как  | y – y₀ |  < δ. То есть для всех значений y из интервала  | y – y₀ |  < δ, значения обратной функции x =  f ^–1 (y) принадлежат интервалу x₁ < x < x₂. А учитывая (3.3), они также принадлежат интервалу x₀ – ε < x < x₀ + ε, что можно записать как  | x – x₀ |  < ε, или  |  f ^–1 (y) –  f ^–1 (y₀) |  < ε.

То есть мы нашли такую функцию
δ(ε) = min( f (x₀) –  f (x₁),   f (x₂) –  f (x₀)) =
 min( f (x₀) –  f (max(x₀ – ε, a)),   f (min(x₀ + ε, b)) –  f (x₀)),
так что для всех значений переменной y из интервала  | y – y₀ |  < δ, значения переменной x принадлежат интервалу  | x – x₀ |  < ε, или  |  f ^–1 (y) –  f ^–1 (y₀) |  < ε. То есть мы получили (3.1). Поскольку мы взяли произвольное ε > 0, то это означает, что обратная функция x =  f ^–1 (y) непрерывна в точке y₀.

Поскольку y₀ является произвольной внутренней точкой отрезка [m, M], то это означает, что обратная функция непрерывна во всех точках y : m < y < M.

3.1.2. Точка a

Теперь докажем, что обратная функция  f ^–1 (y) непрерывна в точке m – на нижнем конце отрезка [m, M]:  f ^–1 (m) = a;   f (a) = m. Согласно определению, нам нужно показать, что правый предел при y → m + 0 равен значению обратной функции в точке m:
lim_{y → m + 0}  f ^–1 (y) =  f ^–1 (m) = a.

Согласно определению одностороннего предела, нам нужно показать, что для любого ε > 0 существует δ = δ(ε), так что для всех y : m ≤ y < m + δ, значения обратной функции лежат в правой ε-окрестности точки  f ^–1 (m) = a:
 f ^–1 (y) –  f ^–1 (m) < ε.
Здесь мы учли, что в определении непрерывности вместо проколотой окрестности m < y < δ, как в определении предела, можно использовать просто окрестность m ≤ y < δ. Хотя это и необязательно.

Возьмем произвольное ε > 0. Введем обозначения:
x₂ = min(a + ε, b);   y₂ =  f (x₂);  x₂ =  f ^–1 (y₂).
Тогда в силу строгого возрастания обратной функции, при m ≤ y < y₂, ее значения лежат в полуинтервале  f ^–1 (m) ≤  f ^–1 (y) <  f ^–1 (y₂), который можно выразить через переменную x:
a ≤ x < x₂.
То есть мы должны взять δ(ε) = y₂ – m =  f (x₂) – m =  f (min(a + ε, b)) – m. Тогда для всех y из правой δ-окрестности точки m: m ≤ y < m + δ, значения обратной функции принадлежат правой ε-окрестности точки  f ^–1 (m) = a:
 f ^–1 (y) –  f ^–1 (m) = x – a < x₂ – a ≤ ε.
Это означает, что lim_{y → m + 0}  f ^–1 (y) =  f ^–1 (m) = a. То есть обратная функция непрерывна в точке m, на конце отрезка [m, M].

3.1.3. Точка b

Аналогичным образом докажем, что обратная функция  f ^–1 (y) непрерывна в точке M – на верхнем конце отрезка [m, M]:  f ^–1 (M) = b;   f (b) = M. Нам нужно показать, что левый предел при y → M – 0 равен значению обратной функции в точке M:
lim_{y → M – 0}  f ^–1 (y) =  f ^–1 (M) = b.

Покажем, что для любого ε > 0 существует δ = δ(ε), так что для всех y : M – δ < y ≤ M, значения обратной функции лежат в левой ε-окрестности точки  f ^–1 (M) = b:
 f ^–1 (M) –  f ^–1 (y) < ε.

Возьмем произвольное ε > 0. Введем обозначения:
x₁ = max(b – ε, a);   y₁ =  f (x₁);  x₁ =  f ^–1 (y₁).
Тогда в силу строгого возрастания обратной функции, при y₁ < y ≤ M, ее значения лежат в полуинтервале  f ^–1 (y₁) <  f ^–1 (y) ≤  f ^–1 (M), который можно выразить через переменную x:
x₁ < x ≤ b.
То есть мы должны взять δ(ε) = M – y₁ = M –  f (x₁) = M –  f (max(b – ε, a)). Тогда для всех y из левой δ-окрестности точки M: M – δ < y ≤ M, значения обратной функции принадлежат левой ε-окрестности точки  f ^–1 (M) = b:
 f ^–1 (M) –  f ^–1 (y) = b – x < b – x₁ ≤ ε.
Это означает, что lim_{y → M – 0}  f ^–1 (y) =  f ^–1 (M) = b. То есть обратная функция непрерывна в точке M, на правом конце отрезка [m, M].

3.1.4. Более простое доказательство

Заметим, что мы можем упростить доказательство непрерывности обратной функции, заменив пункт 3.1.1 более простыми рассуждениями. Для этого сначала нужно выполнить доказательства пунктов 3.1.2 и 3.1.3, в которых мы доказываем, что обратная функция непрерывна на концах отрезка, то есть имеет односторонние пределы:
lim_{y → m + 0}  f ^–1 (y) =  f ^–1 (m);   lim_{y → M – 0}  f ^–1 (y) =  f ^–1 (M).
Далее нужно взять произвольную точку y₀ внутри отрезка [m, M], и разбить его на два отрезка: [m, y₀] и [y₀, M]. Поскольку обратная функция непрерывна на концах отрезков, то
lim_{y → y0 – 0}  f ^–1 (y) =  f ^–1 (y₀);   lim_{y → y0 + 0}  f ^–1 (y) =  f ^–1 (y₀).
Тогда, согласно свойству о равенстве односторонних пределов, обратная функция имеет в точке y₀ предел
lim_y → y0  f ^–1 (y) =  f ^–1 (y₀).
Поскольку предел при y → y₀ равен значению обратной функции в y₀, то она непрерывна в y₀.

3.2. Функция строго убывает

3.2. Теперь рассмотрим случай, когда  f (x) строго убывает. Она имеет минимальное и максимальное значения:
m = min_[a,b]  f  =  f (b);   M = max_[a,b]  f  =  f (a).
Как показано в пунктах 1 и 2, она имеет обратную функцию  f ^–1 (y), которая определена на отрезке [m, M], и строго убывает.

Для доказательства непрерывности, рассмотрим функцию g(x) = – f (x). Функция g(x) строго возрастает, она определена и непрерывна при a ≤ x ≤ b. Ее минимальное и максимальное значения:
m_g = min_[a,b] g = g(a) = – f (a) = –M;  
 M_g = max_[a,b] g = g(b) = – f (b) = –m.
Согласно доказанному в пункте 3.1, ее обратная функция g^–1 (y) непрерывна на отрезке y ∈ [–M, –m].

Выразим  f ^–1 (y) через g^–1 (y), пользуясь свойствами обратных функций и учитывая, что  f (x) = –g(x):
 f ^–1 (y) =  f ^–1 (– (–y)) =  f ^–1 (–g(g^–1 (–y))) =  f ^–1 ( f (g^–1 (–y))) = g^–1 (–y).
Итак, мы нашли, что
(3.2.1)    f ^–1 (y) = g^–1 (–y).

Представим функцию g^–1 (–y) как сложную:
g^–1 (–y) = g^–1 (h(y)),
где h(y) = –y.
Функция h(y) непрерывна для всех y, в том числе и на отрезке [m, M], который она отображает в отрезок [–M, –m]. Функция g^–1 (y) непрерывна на этом отрезке. Тогда по теореме о непрерывности сложной функции, функция  f ^–1 (y) = g^–1 (–y) непрерывна при y ∈ [m, M].

Теорема доказана.

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале

Пусть функция  f  непрерывна
и строго возрастает (строго убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале (a, b).
Тогда на интервале ( inf_(a,b)  f , sup_(a,b)  f  ) определена и непрерывна обратная функция  f ^–1, которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции inf_(a,b)  f  = lim_{x → a + 0}  f (x),   sup_(a,b)  f  = lim_{x → b – 0}  f (x).
Для убывающей: inf_(a,b)  f  = lim_{x → b – 0}  f (x),   sup_(a,b)  f  = lim_{x → a + 0}  f (x).

Доказательство

1. Существование обратной функции

1. Пусть X = {x : a < x < b} обозначает область определения функции  f  – открытый интервал (a, b). Пусть Y – множество ее значений при x ∈ X. Согласно теореме о существовании и монотонности обратной функции, существует обратная функция  f ^–1, которая имеет область определения Y, множество значений X и является строго монотонной (возрастает если возрастает  f  и убывает если убывает  f ). Нам осталось доказать следующее.
2) Множеством Y является открытый интервал (m, M),
где для возрастающей функции: m = inf_(a,b)  f  = lim_{x → a + 0}  f (x),   M = sup_(a,b)  f  = lim_{x → b – 0}  f (x);
для убывающей функции: m = inf_(a,b)  f  = lim_{x → b – 0}  f (x),   M = sup_(a,b)  f  = lim_{x → a + 0}  f (x).
3) Обратная функция непрерывна на интервале (m, M).

2. Множество значений обратной функции

2. Покажем, что множеством значений Y функции  f  является открытый интервал (m, M):
Y = {y : m < y < M}.

Как и всякое непустое множество, элементы которого имеют операцию сравнения, множество значений Y функции  f  имеет нижнюю и верхнюю грани:
m = inf_(a,b)  f ,  M = sup_(a,b)  f .
Здесь m и M могут быть конечными числами или символами –∞ и +∞.

Согласно теореме о пределе монотонной функции,
для возрастающей функции inf_(a,b)  f  = lim_{x → a + 0}  f (x),   sup_(a,b)  f  = lim_{x → b – 0}  f (x);
для убывающей функции m = inf_(a,b)  f  = lim_{x → b – 0}  f (x),   M = sup_(a,b)  f  = lim_{x → a + 0}  f (x).

2.1. Покажем, что точки m и M не принадлежат множеству значений функции. То есть множество значений не может быть отрезком [m, M].

Если m или M является бесконечно удаленной точкой: –∞ или +∞, то такая точка не является элементом множества. Поэтому она не может принадлежать множеству значений.

Пусть m (или M) является конечным числом. Допустим противное. Пусть точка m (или M) принадлежит множеству значений функции  f . То есть существует такое x_m : a < x_m < b, для которого  f (x_m) = m (или  f (x_m) = M). Возьмем точки x_m1 и x_m2, удовлетворяющие неравенствам:
a < x_m1 < x_m < x_m2 < b.
Поскольку функция  f  строго монотонна, то
 f (x_m1) <  f (x_m) <  f (x_m2), если f возрастает;
 f (x_m1) >  f (x_m) >  f (x_m2), если f убывает.
То есть мы нашли точку, значение функции в которой меньше m (больше M). Но это противоречит определению нижней (верхней) грани, согласно которому
m ≤  f (x) ≤ M для всех x ∈ X.
Поэтому точки m и M не могут принадлежать множеству значений Y функции  f .

2.2. Покажем, что обратная функция  f ^–1 (y) определена в произвольной точке y₀ ∈ (m, M). То есть нам нужно показать, что существует такое число x₀, так что  f (x₀) = y₀.

Возьмем произвольное число y₀, принадлежащее интервалу (m, M): y₀ ∈ (m, M).
Поскольку m = lim_{x → a + 0}  f (x), или m = lim_{x → b – 0}  f (x), то в любой проколотой ε-окрестности точи m существует такое значение x₁, что  f (x₁) принадлежит этой окрестности. Возьмем ε = y₀ – m. Тогда существует такое x₁, так что m <  f (x₁) < y₀.
Аналогичным образом, поскольку M = lim_{x → b – 0}  f (x), если  f (x) строго возрастает, или M = lim_{x → a + 0}  f (x), если  f (x) строго убывает, то существует такое значение x₂, так что y₀ <  f (x₂) < M.

Итак, мы выяснили, что существует такой отрезок [x₁, x₂] (или [x₂, x₁]), на котором функция  f (x) непрерывна, и
 f (x₁) < y₀ <  f (x₂).
Тогда по второй теореме Больцано – Коши о промежуточном значении, существует такое число x₀ ∈ [x₁, x₂], так что  f (x₀) = y₀.

3. Непрерывность обратной функции

3. Теперь покажем, что обратная функция непрерывна в произвольной точке y₀ интервала (m, M):  m < y₀ < M.

В предыдущем пункте 2.2 мы показали, что существует такое x₀, так что  f (x₀) = y₀. Там же мы показали, что существуют такие x₁ и x₂, так что
m <  f (x₁) < y₀ <  f (x₂) < M.
В силу строгой монотонности функции  f (x) отсюда следует, что
a < x₁ < x₀ < x₂ < b, если f строго возрастает, или
a < x₂ < x₀ < x₁ < b, если f строго убывает.

Таким образом, функция  f (x) определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке [x₁, x₂] (или [x₂, x₁]). Тогда согласно предыдущей теореме ⇑, обратная функция  f ^–1 непрерывна на отрезке [ f (x₁),  f (x₂)], в том числе и в точке y₀.

Теорема доказана.

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале

Пусть функция  f (x) непрерывна и строго монотонна на полуинтервале X.
Тогда на полуинтервале Y определена, строго монотонна и непрерывна обратная функция  f ^–1 (y).
Если  f (x) строго возрастает, то  f ^–1 (y) также строго возрастает. При этом:
если X = [a, b), то Y = [m, M);
если X = (a, b], то Y = (m, M].
Если  f (x) строго убывает, то  f ^–1 (y) также строго убывает. При этом:
если X = [a, b), то Y = (m, M];
если X = (a, b], то Y = [m, M).
Здесь m = inf_X  f ;  M = sup_X  f . Открытый конец интервала может быть конечным числом или бесконечно удаленной точкой.

Доказательство

Пусть функция  f (x) определена, непрерывна и строго возрастает на полуинтервале X = [a, b).

Произвольным образом выберем две точки x₁ и x₂ такие, что
(p.1)   a < x₁ < x₂ < b.
Тогда функция  f (x) определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке X_a = [a, x₂]. Поэтому по теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке, на отрезке Y_a = [ f (a),  f (x₂)] определена и непрерывна обратная функция  f ^–1 (y), которая строго возрастает.

Также функция  f (x) определена, непрерывна и строго возрастает на интервале X_b = (x₁, b). Поэтому по теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале, на интервале Y_b = ( f (x₁), sup_X  f ) определена и непрерывна обратная функция  f ^–1 (y), которая строго возрастает.

Найдем объединение интервалов Y_a и Y_b. Поскольку функция строго монотонна, то в силу (p.1) имеем:
 f (a) <  f (x₁) <  f (x₂) < sup_X  f .
Тогда отрезок Y_a и интервал Y_b перекрываются. Их объединение: Y_a ∪ Y_b = [m, M) = Y. Это означает, что при y ∈ Y определена и непрерывна обратная функция  f ^–1 (y), которая строго возрастает.

Для строго возрастающей функции и X = [a, b) теорема доказана.

Аналогичным способом можно рассмотреть случай X = (a, b] и случаи строго убывающей функции  f (x).