Обратные функции – определение и свойства
Определение и свойства
- Обратная функция
- Пусть функция y = f (x) имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством:
f (x1) ≠ f (x2) для всех x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2.
Тогда для любого элемента y ∈ Y из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого y = f (x). Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к f . Обратная функция обозначается так:
x = f –1 (y).
Из определения следует, что
y = f (x) ⇔ x = f –1 (y);
f –1 ( f (x)) = x для всех x ∈ X;
f ( f –1 (y)) = y для всех y ∈ Y.
то существует обратная функция f –1, которая также строго возрастает (убывает).
Доказательство
и имеет множество значений Y: f(X) ∈ Y.
И пусть она имеет на множестве X обратную функцию f -1: f -1(Y) ∈ X.
Тогда графики прямой f и обратной f –1 функций, построенные при значениях их аргументов x ∈ X и x ∈ Y, соответственно, симметричны относительно прямой y = x.
Доказательство
и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a, b].
Тогда на отрезке [ min[a,b] f , max[a,b] f ] определена и непрерывна обратная функция f –1, которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции min[a,b] f = f (a), max[a,b] f = f (b).
Для убывающей: min[a,b] f = f (b), max[a,b] f = f (a).
Доказательство
и строго возрастает (строго убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале (a, b).
Тогда на интервале ( inf(a,b) f , sup(a,b) f ) определена и непрерывна обратная функция f –1, которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции inf(a,b) f = limx → a + 0 f (x), sup(a,b) f = limx → b – 0 f (x).
Для убывающей: inf(a,b) f = limx → b – 0 f (x), sup(a,b) f = limx → a + 0 f (x).
Доказательство
Тогда на полуинтервале Y определена, строго монотонна и непрерывна обратная функция f –1 (y).
Если f (x) строго возрастает, то f –1 (y) также строго возрастает. При этом:
если X = [a, b), то Y = [m, M);
если X = (a, b], то Y = (m, M].
Если f (x) строго убывает, то f –1 (y) также строго убывает. При этом:
если X = [a, b), то Y = (m, M];
если X = (a, b], то Y = [m, M).
Здесь m = infX f ; M = supX f . Открытый конец интервала может быть конечным числом или бесконечно удаленной точкой.
Доказательство
Примеры обратных функций
Арксинус
Рассмотрим тригонометрическую функцию синус: y = sin x. Она определена и непрерывна для всех значений аргумента x, но не является монотонной. Однако, если сузить область определения, то можно выделить монотонные участки. Так, на отрезке [ – π2, π2 ], функция определена, непрерывна, строго возрастает и принимает значения от –1 до +1. Поэтому имеет на нем обратную функцию, которую называют арксинусом. Арксинус имеет область определения [–1, 1] и множество значений [ – π2, π2 ].
Логарифм
Показательная функция y = 2 x определена, непрерывна и строго возрастает при всех значений аргумента x : –∞ < x < +∞. Множеством ее значений является открытый интервал {y : 0 < y < +∞}. Обратной функцией является логарифм по основанию два. Он имеет область определения {x : 0 < x < +∞} и множество значений {y : –∞ < y < +∞}.
Квадратный корень
Степенная функция y = x 2 определена и непрерывна для всех x. Множеством ее значений является полуинтервал {y : 0 ≤ y < +∞}. Но она не является монотонной при всех значений аргумента. Однако, на полуинтервале X = {x : 0 ≤ x < +∞} она непрерывна и строго монотонно возрастает. Поэтому если, в качестве области определения, взять множество X, то существует обратная функция, которая называется квадратным корнем. Обратная функция имеет область определения {x : 0 ≤ x < +∞} и множество значений {y : 0 ≤ y < +∞}.
См. также: Примеры графиков обратных функций
Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n
Все примеры Докажите, что уравнение x n = a, где n – натуральное, a ≥ 0 – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, x ∈ R. Это решение называется корнем степени n из числа a. То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n.
Решение
Рассмотрим функцию от переменной x:
(П1) y = f (x) = x n.
Докажем, что она непрерывна.
Используя определение непрерывности, покажем, что
limΔx → 0 f (x + Δx) = f (x).
Применяем формулу бинома Ньютона:
(П2) f (x + Δx) = (x + Δx) n =
x n + nx n – 1 Δx + ⋅ ⋅ ⋅ + n!k!(n – k)! x n – k (Δx) k + ⋅ ⋅ ⋅ + (Δx) n.
Применим арифметические свойства пределов функции. Поскольку limΔx → 0 Δx = 0, то отлично от нуля только первое слагаемое:
limΔx → 0 f (x + Δx) = f (x).
Непрерывность доказана.
Докажем, что функция (П1) строго возрастает при x ≥ 0.
Возьмем произвольные числа x1, x2, связанные неравенствами:
x1 ≥ 0, x2 > 0, x2 > x1.
Нам нужно показать, что f (x2) > f (x1). Введем переменные x = x1 ≥ 0, Δx = x2 – x1 > 0. Тогда f (x2) = f (x + Δx). Поскольку Δx > 0, то из (П2) видно, что f (x + Δx) > x n = f (x). Или
f (x2) > f (x1).
Строгое возрастание доказано.
Найдем множество значений функции f (x) при x ≥ 0.
В точке x = 0, f (0) = 0 n = 0.
Найдем предел limx → +∞ f (x).
Для этого применим неравенство Бернулли. При x ≥ 0 имеем:
x n = (1 + x – 1) n ≥ n(x – 1).
Поскольку limx → +∞ x = +∞, то и limx → +∞ n(x – 1) = +∞.
Применяя свойство неравенств бесконечно больших функций находим, что limx → +∞ f (x) = +∞.
Таким образом, infx ≥ 0 f (x) = f (0) = 0, supx ≥ 0 f (x) = +∞.
Согласно теореме об обратной функции, на интервале [0, +∞) определена и непрерывна обратная функция f –1. То есть для любого y ≥ 0 существует единственное x ≥ 0, удовлетворяющее уравнению y = f (x). Поскольку у нас f (x) = x n, то это означает, что для любого y ≥ 0, уравнение y = x n имеет единственное решение, которое называют корнем степени n из числа x:
x = f –1 (y) = n √ y .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: