Методы решения физико-математических задач

Теорема о существовании и монотонности обратной функции

Теорема о существовании и монотонности обратной функции
Формулировка и доказательство теоремы о существовании и монотонности обратной функции.

Теорема

Если функция f строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).

Доказательство

Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y.

Докажем, что она имеет обратную функцию.
Исходя из определения, нам нужно доказать, что
для всех .
Допустим противное. Пусть существуют числа , так что . Пусть при этом . Иначе, поменяем обозначения, чтобы было . Тогда, в силу строгой монотонности  f, должно выполняться одно из неравенств:
, если  f  строго возрастает;
, если  f  строго убывает.
То есть . Возникло противоречие. Следовательно, f имеет обратную функцию .

Пусть функция строго возрастает.
Докажем, что и обратная функция также строго возрастает. Введем обозначения:
. То есть нам нужно доказать, что если , то .

Допустим противное. Пусть , но .

Если , то . В этом случае . Возникло противоречие, поскольку, по предположению, . Этот случай отпадает.

Пусть . Тогда, в силу строгого возрастания функции , , или . Возникло противоречие. Поэтому возможен только случай .
Для строго возрастающей функции лемма доказана.

Пусть функция строго убывает.
Докажем, что и обратная функция также строго убывает. Нам нужно доказать, что если , то .

Допустим противное. Пусть , но .

Если , то . В этом случае . Возникло противоречие, поскольку, по предположению, .

Пусть . Тогда, в силу строгого убывания функции , , или . Возникло противоречие. Поэтому возможен только случай .

Теорема доказана.

.     Опубликовано: