Определение и доказательство свойств логарифма

Теорема. Свойства логарифма

Логарифмическая функция с основанием a,   y = log_a x
имеет следующие свойства:
(1.1)   определена и непрерывна, при a > 0 и a ≠ 1, для положительных значений аргумента,x > 0;
(1.2)   имеет множество значений y : –∞ < y < +∞;
(1.3)   строго возрастает при a > 1, строго убывает при 0 < a < 1;
(1.4)   lim_{x → 0 + 0} log_a x = –∞,   lim_{x → +∞} log_a x = +∞   при a > 1;
lim_{x → 0 + 0} log_a x = +∞,   lim_{x → +∞} log_a x = –∞   при 0 < a < 1;
(1.5)   log_a a^x = x;
(1.6)   a^log_a x = x при x > 0;
(1.7)   log_a (x₁ ⋅ x₂) = log_a x₁ + log_a x₂  при  x₁, x₂ > 0;
(1.8)   log_a x^p = p log_a x  при  x > 0;
(1.9)   log_a x = log_b xlog_b a  при  x > 0,  b > 0,  b ≠ 1.

Доказательство свойств

1.1–1.4. На странице «Определение и доказательство свойств показательной функции» мы доказали, что показательная функция y = a^x, при a > 1, определена, непрерывна и строго возрастает на множестве всех действительных чисел x : –∞ < x < +∞. Она имеет множество значений y : 0 < y < +∞. Тогда по теореме об обратной функции, на интервале (0, +∞) определена, непрерывна и строго возрастает обратная функция, которая называется логарифмом по основанию a. Множество значений логарифма совпадает с областью определения показательной функции и является интервалом (–∞, +∞).

Случай 0 < a < 1 отличается от рассмотренного выше случая только тем, что для этих значений a, показательная функция строго убывает. Поэтому и обратная функция – логарифм, также строго убывает при 0 < a < 1.

1.5–1.6. Свойства (1.5–1.6) следуют из определения обратной функции:
 f ^–1 ( f (x)) = x  для всех  x ∈ X;
 f ( f ^–1 (y)) = y  для всех  y ∈ Y.
Полагая  f (x) = a^x,   f ^–1 (y) = log_a y,  X = {x : –∞ < x < +∞},  Y = {y : 0 < y < +∞},  получаем:
log_a a^x = x  для всех x ;
a^log_a y = y  при  y > 0.

1.7–1.9. Применяем свойства 1.5–1.6 и свойства показательной функции.
log_a (x₁ ⋅ x₂) = log_a (a^log_a x₁ ⋅ a^log_a x₂) = log_a a^{log_a x₁ + log_a x₂} = log_a x₁ + log_a x₂;
log_a x^p = log_a ( a^log_a x )^p = log_a ( a^{p log_a x} ) = p log_a x.
Применяем предыдущее свойство.
log_b x = log_b a^log_a x = log_a x ⋅ log_b a;
log_a x = log_b xlog_b a.

Теорема доказана.