Пределы монотонных функций
Определения
- Возрастающая и убывающая функции
- Пусть функция f(x) определена на некотором множестве действительных чисел X.
Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех x′, x′′ ∈ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
f(x′) < f(x′′) ( f(x′) > f(x′′) ).
Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех x′, x′′ ∈ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
f(x′) ≤ f(x′′) ( f(x′) ≥ f(x′′) ).
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
- Монотонная функция
- Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.
Для исследования монотонности функции на некотором множестве X, нужно найти разность ее значений в двух произвольных точках , принадлежащих этому множеству. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.
Если на некотором множестве функция положительна: , то для определения монотонности, можно исследовать частное от деления ее значений в двух произвольных точках этого множества. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.
Теорема о пределе монотонной функции
Теорема
Пусть функция f(x) не убывает на интервале (a, b), где .
Если она ограничена сверху числом M: , то существует конечный левый предел в точке b: . Если f(x) не ограничена сверху, то .
Если f(x) ограничена снизу числом m: , то существует конечный правый предел в точке a: . Если f(x) не ограничена снизу, то .
Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция f(x) не убывает на интервале (a, b), где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Следствие
Пусть функция является монотонной на интервале . Тогда в любой точке из этого интервала, существуют односторонние конечные пределы функции :
и .
Доказательство теоремы
Функция не убывает
b – конечное число
Функция ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.1. Пусть число b конечное: .
1.1.1. Пусть функция ограничена сверху числом M: при .
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
для всех ;
для любого положительного существует такой аргумент , для которого
; или
.
Поскольку функция не убывает, то при . Тогда
при .
Преобразуем последнее неравенство:
;
;
;
.
Поскольку , то . Тогда
при .
Обозначим . Тогда для любого существует , так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен (см. «Определения односторонних пределов функции в конечной точке»).
Функция не ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.1. Пусть число b конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M существует такой аргумент , для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при . Или
при .
Обозначим . Тогда для любого существует , так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).
b рано плюс бесконечности
Функция ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b равно плюс бесконечности: .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M: при .
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент , для которого
; или
.
Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при . Или
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует число , так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних пределов на бесконечности»).
Функция не ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M существует такой аргумент , для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .
Итак, для любого существует число , так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).
Функция не возрастает
Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем универсальное определение предела функции по Коши. Докажем, что в этом случае существует предел .
Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой . Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B существует такой аргумент , для которого
.
По условию теоремы, . Поэтому .
Поскольку функция не возрастает, то при . Поскольку , то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b.
Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки , существует такая проколотая левая окрестность точки b, что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен :
(см. универсальное определение предела функции по Коши).
Предел в точке a
Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.
Рассмотрим функцию . Несложно видеть, что она определена при . Если не убывает, то не возрастает. И наоборот, если не возрастает, то не убывает.
Применим для функции доказанную часть теоремы.
Если не убывает, то не возрастает. Тогда существует предел
(A.1) .
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
(A.2) .
Представим функцию как сложную:
, где .
Воспользуемся теоремой о пределе сложной функции.
Функция отображает правостороннюю проколотую окрестность точки a, , на левостороннюю проколотую окрестность точки . Поскольку существуют пределы , и , то существует предел сложной функции
.
Учитывая (A.1) и (A.2) мы приходим к следующему.
Если не убывает, то существует предел
(A.3) .
Если не возрастает, то существует предел
(A.4) .
Поскольку множества значений функций f и g совпадают, то их нижние и верхние грани равны:
.
Тогда от (A.3) и (A.4) мы приходим к тому, что (A.3) требовалось доказать.
Если не убывает, то существует предел
.
Если не возрастает, то существует предел
.
Теорема доказана.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: