Монотонные последовательности
Определение и основные свойства монотонной последовательности. Предел ограниченной и неограниченной монотонной последовательности.
Содержание
См. также:
Определение монотонной последовательности
- Монотонная последовательность
- – это неубывающая или невозрастающая последовательность.
См. Определение числовой последовательности - Строго возрастающая последовательность
- – это последовательность, для всех элементов которой выполняются неравенства:
.
Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.
- Строго убывающая последовательность
- .
- Неубывающая последовательность
- .
- Невозрастающая последовательность
- .
Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.
Свойства
Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу: . Невозрастающая последовательность ограничена сверху: .
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Пусть {xn} – монотонная ограниченная последовательность.Тогда она имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {xn} для неубывающей и точной нижней границе, inf {xn} для невозрастающей последовательности.
Пусть {xn} – монотонная неограниченная последовательность.
Тогда она имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.
Доказательство
Применение
Пример
Все примеры Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . .
После чего найти ее предел.
Решение
Число e
Последовательность с общим членом
имеет конечный предел. Этот предел называется числом e.
Доказательство
Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)
Для любой последовательности вложенных отрезковсуществует точка , принадлежащая всем этим отрезкам.
Если длины отрезков стремятся к нулю:
,
то такая точка единственная.
Доказательство
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
См. также: