Предел последовательности (свойства и теоремы в картинках)

Приводятся основные свойства и теоремы пределов последовательностей в сжатом виде – в виде изображений. Каждая картинка снабжена заголовком и ссылкой на страницу с подробным изложением теории.

Здесь приводятся главные картинки раздела «Предел последовательности». На этих изображениях, в кратком виде представлены главные содержания страниц раздела. На многих из них даются свойства и теоремы, относящиеся к пределам последовательностей. Снизу от каждого изображения имеется заголовок и ссылка на страницу, к которой относится картинка. Просматривая эти картинки, можно освежить в памяти основные свойства и теоремы.

Предел последовательности – основные теоремы и свойстваПриводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Определение числовой последовательностиПриводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа. Способ нумерации рациональных чисел Определение конечного предела последовательностиПриводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение. Основные свойства конечных пределов последовательностейПриводятся формулировки и доказательства основных свойств числовых последовательностей, имеющих конечный предел. Среди них: теорема единственности предела, ограниченность сходящейся последовательности, влияние конечного числа элементов на сходимость. Арифметические свойства конечных пределов последовательностейПриводятся формулировки и доказательства арифметических свойств последовательностей, имеющих конечный предел. Сюда входят предел суммы, разности, произведения и частного числовых последовательностей. Свойства пределов последовательностей, связанных неравенствамиПриводятся формулировки и доказательства теорем и свойств числовых последовательностей, элементы которых связаны неравенствами. Предполагается, что последовательности имеют конечные пределы. Теорема о двух милиционерахПриводится формулировка и доказательство теоремы о зажатой последовательности, которую в шутку называют «Теоремой о двух милиционерах». Рассмотрены примеры применения этой теоремы. Бесконечно малые последовательности – определение и свойстваПриводится определение бесконечно малой последовательности. Она обладает свойствами сходящихся последовательностей. Также имеются свойства, характерные только для последовательностей с пределом равным нулю. Приводятся доказательства таких свойств. Рассмотрен пример, в котором нужно доказать, что последовательность бесконечно малая. Определение бесконечно большой последовательностиПриводится определение бесконечно большой последовательности. Рассмотрены понятия окрестностей бесконечно удаленных точек. Дано универсальное определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам. Рассмотрены примеры применения определения бесконечно большой последовательности. Свойства бесконечно больших последовательностейПриводятся формулировки и доказательство свойств бесконечно больших последовательностей. Часть этих свойств связана с бесконечно малыми последовательностями. Бесконечно удаленные точки и их свойстваПриводятся определения бесконечно удаленных точек – бесконечности без знака, плюс и минус бесконечности. Дается определение расширенной числовой прямой. Представлены свойства бесконечно удаленных точек и рассмотрен вопрос о доказательстве этих свойств. Приводятся примеры неопределенных операций. Монотонные последовательностиОпределение и основные свойства монотонной последовательности. Предел ограниченной и неограниченной монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательностиПриводится доказательство теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Рассмотрены случаи ограниченной и неограниченной последовательностей. Рассмотрен пример, в котором нужно, применяя теорему Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности и найти ее предел. Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательностиОпределение числа e как предела последовательности. Раскрывается смысл и значение числа e в математическом анализе. Приводится доказательство сходимости последовательности к конечному числу тремя способами: разложением в бином Ньютона, используя неравенство Бернулли и применяя вспомогательную последовательность. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)Определение вложенных отрезков. Доказательство леммы Коши – Кантора о вложенных отрезках. Критерий Коши сходимости последовательностиПриводятся две формулировки условия Коши для последовательности. Доказательство критерия Коши сходимости последовательности и пример его применения. Подпоследовательности и частичные пределы последовательностейДаны определения подпоследовательности, частичного предела последовательности, верхнего и нижнего частичного предела. Представлены формулировки и доказательства теорем и свойств подпоследовательностей, верхних и нижних частичных пределов последовательностей. Теорема Больцано – ВейерштрассаПриводится доказательство теоремы Больцано - Вейерштрасса. Для этого применяется лемма о вложенных отрезках.