y′′+y=x2cos x. Пример решения линейного дифференциального уравнения со специальной неоднородной частью
Условие примера
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной неоднородной частью в виде произведения многочлена второй степени и косинуса:
(1) .
1. Самое простое решение примера
Применим метод понижения порядка линейной заменой переменных.
Делаем подстановку
(1.1) ,
где i – комплексная единица, . тогда уравнение (1) примет вид:
(1.2) .
Действительно, . Все правильно.
Решаем линейное неоднородное уравнение первого порядка (1.2) с помощью интегрирующего множителя. Умножим на и выделим полный дифференциал:
;
;
.
Интегрируем:
(1.3) .
Вычисляем интеграл. Для этого, с помощью формулы Эйлера, выразим косинус через экспоненту:
.
Тогда интеграл примет вид:
(1.4)
.
Первый интеграл табличный:
(1.5) .
Второй интеграл интегрируем по частям:
;
;
;
;
(1.6) .
Подставляем (1.5) и (1.6) в (1.4), а затем в (1.3):
;
(1.7) .
Теперь учтем, что постоянная интегрирования C является комплексным числом. Поэтому запишем ее в виде , где – действительные числа. Умножим (1.7) на . Также учтем, что согласно (1.1), :
(1.8) .
Учтем тот факт, что исходное уравнение (1) имеет действительное решение. Поэтому функции и действительные. Тогда, чтобы найти , нам нужно найти мнимую часть от выражения (1.8) справа. Выделяем действительную и мнимую части:
.
Отсюда получаем решение уравнения:
.
Преобразуем постоянные интегрирования: .
Ответ
.
2. Стандартное решение
Теперь решим наше уравнение (1) стандартным методом. Этот метод применим для решения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной неоднородностью, которые имеют следующий вид:
,
где – многочлены степеней и , соответственно:
;
;
– известные коэффициенты.
В нашем случае, уравнение (1) второго порядка, , .
2.1 Общее решение однородного уравнения
Вначале находим общее решение однородного уравнения. Для этого отбрасываем в (1) правую неоднородную часть. Получаем однородное уравнение, в котором, чтобы не было путаницы, заменим на :
(2.1) .
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Оно имеет комплексные корни:
.
Им соответствует фундаментальная система решений:
.
Общее решение однородного уравнения (2.1):
.
2.2 Частное решение неоднородного уравнения
Поскольку характеристическое уравнение имеет корень кратности , и неоднородная часть имеет множитель , то частное решение Y ищем в виде
;
(2.2) .
Здесь – действительные коэффициенты, которые нужно определить.
Для определения коэффициентов , подставим частное решение (2.2) в исходное уравнение, и приравняем левую и правую части.
Найдем производные от Y. Поскольку нам нужна только производная второго порядка, то применим формулу Лейбница:
.
Дифференцируем. Для удобства введем обозначения:
.
Тогда ;
;
;
;
;
;
.
Подставляем в (1) и выполняем преобразования:
;
;
.
Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
;
.
Решаем ее.
.
Отсюда получаем частное решение исходного уравнения:
.
Общее решение исходного уравнения:
.
Ответ
.
3. Стандартное решение с использованием комплексных функций
3.1. Описание метода
Суть этого метода заключается в том, чтобы выполнять вычисления, используя экспоненту вместо синусов и косинусов. При таком подходе, в ряде случаев получаются более простые преобразования. При этом нам нужно использовать комплексные числа и элементарные сведения из области функций комплексного переменного.
Рассмотрим комплексную функцию , зависящую от комплексной переменной
,
где – действительные числа. Ее можно записать в виде суммы действительной и мномой частей:
,
где – действительные функции от комплексной переменной . Например:
.
Отсюда .
Далее мы будем считать, что множеством определения всех функций является множество действительных чисел. То есть будем считать, что комплексная переменная принимает только действительные значения: .
Пусть функция w является решением линейного неоднородного уравнения:
(3.1) ,
где – действительные коэффициенты (или действительные функции от действительной переменной x); – комплексная функция; и – действительные функции. Тогда действительная u и мнимая v части функции w удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
(3.2) ;
(3.3) .
Для доказательства подставим в (3.1):
.
Поскольку коэффициенты действительные, то, отделяя действительную и мнимую части, получаем, что функции u и v удовлетворяют дифференциальным уравнениям (3.2) и (3.3).
3.2. Применение метода
Применим этот прием к нашему уравнению (1). Возьмем комплексную функцию , и рассмотрим уравнение:
(3.4) .
Тогда действительная часть u комплексного решения этого уравнения будет удовлетворять исходному уравнению (1):
.
Для решения (3.4) мы используем стандартный метод ⇑.
3.2.1. Общее решение однородного уравнения
Находим общее решение однородного уравнения. Отбрасываем в (3.4) правую неоднородную часть. Получаем однородное уравнение:
.
Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(3.5) .
Оно имеет комплексные корни
.
Им соответствует фундаментальная система решений
.
Общее решение однородного уравнения:
(3.6) ,
где и – комплексные постоянные.
Выделим в общем решении действительную и мнимую части. Для этого выразим комплексные постоянные через действительные :
.
Подставим в (3.6) и применим формулу Эйлера:
;
.
Заменим постоянные :
(3.7) .
3.2.2. Частное решение неоднородного уравнения
Находим частное решение уравнения (3.4). Неоднородная часть является экспонентой, умноженной на многочлен второй степени. Поскольку является корнем характеристического уравнения (3.5) кратности , то частное решение ищем в виде:
;
.
Находим производную второго порядка от W, применяя формулу Лейбница:
.
Дифференцируем. При этом используем обозначение:
.
Тогда ;
;
;
;
.
Подставляем в (3.4):
;
;
.
Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
.
Отсюда
.
Частное решение:
.
Разделяем действительную и мнимую части:
.
Прибавляя общее решение (3.7) однородного уравнения, получаем общее решение комплексного неоднородного уравнения (3.4):
.
Отделяя действительную часть, получаем общее решение исходного уравнения (1):
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: