Способы задания функций
Существуют следующие способы задания функции y = f(x):
- Явный аналитический способ по формуле вида y = f(x).
- Интервальный.
- Параметрический: x = x(t), y = y(t).
- Неявный, как решение уравнения F(x, y) = 0.
- В виде ряда, составленного из известных функций.
- Табличный.
- Графический.
Явный аналитический способ задания функции
При явном способе, значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f(x). В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y, а в правой – выражение, составленное из независимой переменной x, постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления. Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.
Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y:
;
;
.
Интервальный способ задания функции
При интервальном способе задания функции, область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.
Вот несколько примеров интервального способа задания функции:
Параметрический способ задания функции
При параметрическом способе, вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)
Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t:
Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию можно задать так:
А можно и так:
Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см. «Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных»). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x и y две функции и . Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.
Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.
Уравнения (1) – это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями. Например можно ввести два параметра и . Тогда задание функции будет выглядеть так:
Здесь появляется дополнительное уравнение , связывающее параметры. Если число параметров равно n, то должно быть n – 1 дополнительных уравнений.
Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби». Там решение ищется в следующем виде:
(2) .
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t. После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра и .
Неявный способ задания функции
При неявном способе, значения функции определяется из решения уравнения .
Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3) .
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, , то можно выразить переменную y как функцию от x явным способом:
(4) .
Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную , удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
;
.
Задание функции рядом
Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда, составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.
Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд функций:
.
Также применяется ряд и с отрицательными степенями:
.
Например, функция синус имеет следующее разложение:
(5) .
Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.
В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):
.
В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям и , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.
Табличный способ задания функции
При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y. Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y. Чтобы определить значение функции при заданном значении x, мы по таблице, находим значение x, наиболее близкое к нашему. После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y.
Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x линейна, то есть имеет следующий вид:
.
Здесь – значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции при . Из таблицы находим:
.
Тогда
.
Точное значение:
.
Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.
Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.
Графический способ задания функции
При графическом способе, значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат – зависимой.
Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных расчетах.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: