Бесконечно малые последовательности – определение и свойства
Определение
- Бесконечно малая последовательность
- {αn} – это сходящаяся последовательность, предел которой равен нулю:
.
Согласно определению предела последовательности это означает, что для любого положительного числа существует такое натуральное число N(ε), зависящее от ε, что для всех натуральных n > N(ε) выполняется неравенство
.
Свойства бесконечно малых последовательностей
Бесконечно малые последовательности являются сходящимися последовательностями. Поэтому они обладают всеми их свойствами. Формулировки этих свойств и ссылки на страницы с доказательствами приведены на странице
Предел последовательности – основные теоремы и свойства.
Следующие свойства являются прямым следствием арифметических свойств, примененных к последовательностям, предел которых равен нулю.
Свойство суммы и разности бесконечно малых последовательностей
Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Также линейная комбинация конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство предела суммы и разности числовых последовательностей.
Свойство произведения бесконечно малых последовательностей
Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство предела произведения числовых последовательностей.
Следующие свойства относятся только к бесконечно малым последовательностям и не являются прямым следствием свойств сходящихся последовательностей.
Свойство произведения ограниченной последовательности на бесконечно малую
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство ⇓
Свойство представления сходящейся последовательности через бесконечно малую
Для того, чтобы последовательность {xn} имела предел b, необходимо и достаточно, чтобы
xn = b + αn,
где {αn} – бесконечно малая последовательность.
Доказательство ⇓
Доказательства свойств
Свойство произведения ограниченной последовательности на бесконечно малую
Все свойства ⇑ Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство
Пусть последовательность ограничена некоторым числом :
(3.1) .
Пусть последовательность – бесконечно малая. То есть имеется такая функция , зависящая от переменной , что для любого положительного значения переменной , выполняется неравенство
(3.2) при .
Пусть последовательность является произведением последовательностей и . Ее общий член имеет вид:
.
Нам нужно найти такую функцию , при которой выполняется неравенство
(3.3) при .
Применим (3.1) и (3.2):
.
Это выполняется при . Итак,
.
Положим :
.
То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(3.3) при .
Свойство доказано.
Свойство представления сходящейся последовательности через бесконечно малую
Все свойства ⇑ Для того, чтобы последовательность {xn} имела предел b, необходимо и достаточно, чтобы
xn = b + αn,
где {αn} – бесконечно малая последовательность.
Доказательство
Необходимость. Пусть . Рассмотрим последовательность с общим членом . Используем арифметические свойства пределов:
.
То есть – бесконечно малая последовательность.
Достаточность. Пусть . На основании арифметических свойств пределов имеем:
.
Свойство доказано.
Пример
Все примеры Используя определение предела последовательности доказать, что последовательность
является бесконечно малой.
Решение
Выпишем определение бесконечно малой последовательности:
.
Поскольку n является натуральным числом, n = 1, 2, 3, ..., то
,
,
.
Поэтому члены последовательности являются положительными числами. Тогда
.
Далее замечаем, что
;
;
.
Тогда
;
;
.
Итак, мы получили следующую оценку:
.
Вводим положительные числа и :
.
Согласно свойствам неравенств, если и , то
.
Отсюда следует, что для любого положительного можно найти натуральное число , так что при ,
.
Это означает, что предел исходной последовательности равен нулю и, следовательно, она является бесконечно малой.
Ответ
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: