Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Пусть {xn} – монотонная ограниченная последовательность.Тогда она имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {xn} для неубывающей и точной нижней границе, inf {xn} для невозрастающей последовательности.
Пусть {xn} – монотонная неограниченная последовательность.
Тогда она имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.
Доказательство
Ограниченная неубывающая последовательность
1) Пусть последовательность является неубывающей ограниченной последовательностью.
Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(1.1) .
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную верхнюю границу
.
Это означает, что:
- для всех n,
(1.2) ;
- для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε, так что
(1.3) .
Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Первая часть теоремы доказана.
Ограниченная невозрастающая последовательность
2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью:
(2.1) для всех n.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:
- для всех n выполняются неравенства:
(2.2) ;
- для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε, для которого
(2.3) .
Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.
Неограниченная неубывающая последовательность
Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью.
Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(3.1) .
Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M, для которого
(3.2) .
Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).
Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M, так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.
Неограниченная невозрастающая последовательность
4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью.
Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1) для всех n.
Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M, для которого
(4.2) .
Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.
Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M, так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.
Пример решения задачи
Все примеры Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . .
После чего найти ее предел.
Решение
Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.
Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1) .
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть . Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.
Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2) .
Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.
Найдем этот предел. Обозначим его через a:
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей:
.
Условию удовлетворяет корень .
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: