Вывод производных обратных тригонометрических функций
Вывод производных арксинуса и арккосинуса
Сначала выведем формулу производной арксинуса. Пусть
y = arcsin x.
Поскольку арксинус есть функция, обратная к синусу, то
.
Здесь y – функция от x. Дифференцируем по переменной x:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Итак, мы нашли:
.
Поскольку , то . Тогда
.
И предыдущая формула принимает вид:
. Отсюда
.
Точно таким способом можно получить формулу производной арккосинуса. Однако проще воспользоваться формулой, связывающей обратные тригонометрические функции:
.
Тогда
.
Более подробно изложение представлено на странице “Вывод производных арксинуса и арккосинуса”. Там дается вывод производных двумя способами – рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции.
Вывод производных арктангенса и арккотангенса
Таким же способом найдем производные арктангенса и арккотангенса.
Пусть
y = arctg x.
Арктангенс есть функция, обратная к тангенсу:
.
Дифференцируем по переменной x:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Итак, мы нашли:
.
Далее выразим через и учтем, что .
.
Тогда
.
Отсюда
.
Производная арккотангенса:
.
См. “Вывод производных арктангенса и арккотангенса”. На этой странице изложен вывод производных двумя способами – рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции.
Производные высших порядков
Далее мы приводим некоторые соотношения и выражения для производных высших порядков от обратных тригонометрических функций. Полное изложение вывода формул производных высших порядков представлено на страницах Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса и Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса.
Производные арксинуса
Пусть
.
Производную первого порядка от арксинуса мы уже нашли:
.
Дифференцируя, находим производную второго порядка:
;
.
Ее также можно записать в следующем виде:
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса первого и второго порядков:
.
Дифференцируя это уравнение, можно найти производные высших порядков.
Производная арксинуса n-го порядка
Производная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид:
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .
Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению:
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >
Производная арккосинуса n-го порядка
Производные для арккосинуса получаются из производных для арксинуса с помощью тригонометрической формулы:
.
Поэтому производные этих функций отличаются только знаком:
.
Производные арктангенса
Пусть . Мы нашли производную арккотангенса первого порядка:
.
Разложим дробь на простейшие:
.
Здесь – мнимая единица, .
Дифференцируем раз и приводим дробь к общему знаменателю:
.
Подставляя , получим:
.
Производная арктангенса n-го порядка
Таким образом, производную арктангенса n-го порядка можно представить несколькими способами:
;
.
См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Производные арккотангенса
Пусть теперь . Применим формулу, связывающей обратные тригонометрические функции:
.
Тогда производная n-го порядка от арккотангенса отличаются только знаком от производной арктангенса:
.
Подставив , найдем:
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: