Производные тригонометрических функций

Представлены производные тригонометрических функций. Доказательство и вывод формул. Производные высшего порядка для синуса и косинуса.

Производные синуса и косинуса

( sin x )^′ = lim_{Δx → 0} sin(x + Δx) – sin xΔx = lim_{Δx → 0} 2 sin Δx2 ⋅ cos( x + Δx2 )Δx =
 lim_{Δx → 0} sin Δx2Δx2 ⋅ lim_{Δx → 0} cos( x + Δx2 ) = 1 ⋅ cos x = cos x.
Подробнее > > >

( cos x )^′ = lim_{Δx → 0} cos(x + Δx) – cos xΔx = lim_{Δx → 0} 2 sin( x + Δx2 ) ⋅ sin( – Δx2 )Δx =
 –lim_{Δx → 0} sin( x + Δx2 ) ⋅ lim_{Δx → 0} sin Δx2Δx2 = –sin x ⋅ 1 = –sin x.
Подробнее > > >

Производные тангенса и котангенса

( tg x )^′ = ( sin xcos x )^′ = (sin x)^′ ⋅ cos x – sin x ⋅ (cos x)^′(cos x)² = cos x ⋅ cos x + sin x ⋅ sin xcos² x =
 cos² x + sin² xcos² x = 1cos² x.
Подробнее > > >

( ctg x )^′ = ( cos xsin x )^′ = (cos x)^′ ⋅ sin x – cos x ⋅ (sin x)^′(sin x)² =
 –sin x ⋅ sin x – cos x ⋅ cos xsin² x = – sin² x + cos² xsin² x = – 1sin² x.
Подробнее > > >

Производные высших порядков

Производные синуса

Производная первого порядка:
( sin x )^′ = cos x = sin( x + π2 ).

Производная второго порядка:
( sin x )^′′ = ( (sin x)^′ )^′ = ( sin( x + π2 ) )^′ = ( sin u )^′_x = ( sin u )^′_u ⋅ u^′_x =
 sin( u + π2 ) ⋅ ( x + π2 )^′_x = sin( x + π2 + π2 ) ⋅ 1 = sin( x + 2 π2  ).
Здесь  u = x + π2.

Производная третьего порядка:
( sin x )^′′′ = ( (sin x)^′′ )^′ = ( sin( x + 2 π2  ) )^′ = ( sin u )^′_x = ( sin u )^′_u ⋅ u^′_x =
 sin( u + π2 ) ⋅ ( x + π2 )^′_x = sin( x + 2 π2 + π2 ) ⋅ 1 = sin( x + 3 π2  ).
Здесь  u = x + 2 π2.

Производная n-го порядка:
( sin x )⁽ⁿ⁾ = sin( x + n π2  ).
Доказательство методом математической индукции > > >

Производные косинуса

Производная первого порядка:
( cos x )^′ = –sin x = cos( x + π2 ).

Производная n-го порядка:
( cos x )⁽ⁿ⁾ = cos( x + n π2  ).

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 02-03-2017