Производная степенной функции (степени и корни)

Вывод формулы производной степенной функции (x в степени a). Рассмотрены производные от корней из x. Формула производной степенной функции высшего порядка. Примеры вычисления производных.

Основные формулы

Производная от x в степени a равна a, умноженному на x в степени a минус один:
(1)   ( x^a )^′ = a x^a – 1.

Производная от корня степени n из x в степени m равна:
(2)   ( ⁿ√ x^m  )^′ = ( x^m / n )^′ = mn x^mn – 1 = mn ⁿ√ x^m – n .

Вывод формулы производной степенной функции

Случай x > 0

Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a:
(3)   y = x^a.
Здесь a является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай x > 0.

Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
y = x^a = ( e^ln x )^a = e^{a ⋅ ln x}.

Теперь находим производную, применяя правило дифференцирования сложной функции:
( a ⋅ ln x )^′ = a( ln x )^′ = a ⋅ 1x = ax;
y^′ = ( e^{a ⋅ ln x} )^′ = ( e^u )^′_x = ( e^u )^′_u ⋅ u^′_x = e^u ⋅ ( a ⋅ ln x )^′ = e^{a ⋅ ln x} ⋅ ax = x^a ⋅ ax = ax^a – 1.
Здесь u = a ⋅ ln x.

Формула (1) доказана.

Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m

Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4)   y = ⁿ√ x^m .

Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
y = ⁿ√ x^m  = x^mn.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
a = mn.
Тогда
a – 1 = mn – nn = m – nn.

По формуле (1) находим производную:
(1)   ( x^a )^′ = a x^a – 1;
y^′ = ( ⁿ√ x^m  )^′ = ( x^m / n )^′ = ( x^a )^′ = ax^a – 1 = mn x^m – nn = mn ⁿ√ x^m – n ;
(2)   ( ⁿ√ x^m  )^′ = ( x^m / n )^′ = mn x^mn – 1 = mn ⁿ√ x^m – n .

На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).

Случай x = 0

Если a > 0, то степенная функция определена и при значении переменной x = 0. Найдем производную функции (3) при x = 0. Для этого воспользуемся определением производной:
y^′(x) = lim_{Δx → 0} y(x + Δx) – y(x)Δx = lim_{Δx → 0} (x + Δx)^a – x^aΔx.

Подставим x = 0:
y^′(0) = lim_{Δx → 0} (0 + Δx)^a – 0^aΔx = lim_{Δx → 0} (Δx)^aΔx = lim_{Δx → 0}(Δx)^a – 1.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого Δx > 0.

Итак, мы нашли:
y^′(0) = lim_{Δx → 0}(Δx)^a – 1.
Отсюда видно, что при a > 1, y^′(0) = 0.
При a = 1, y^′(0) = 1.
При 0 < a < 1, y^′(0) = +∞.
Этот результат получается и по формуле (1):
(1)   ( x^a )^′ = a x^a – 1.
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0.

Случай x < 0

Снова рассмотрим функцию (3):
(3)   y = x^a.
При некоторых значениях постоянной a, она определена и при отрицательных значениях переменной x. А именно, пусть a будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
a = mn,
где m и n – целые числа, не имеющие общего делителя.

Если n нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x. Например, при n = 3 и m = 1 мы имеем кубический корень из x:
y(x) = ³√ x .
Он определен и при отрицательных значениях переменной x.

Найдем производную степенной функции (3) при x < 0 и при рациональных значениях постоянной a, для которых она определена. Для этого представим x в следующем виде:
x = (–1) ⋅ (–x).
Тогда –x > 0,
y(x) = x^a = ((–1) ⋅ (–x))^a = (–1)^a ⋅ (–x)^a.
Находим производную, вынося постоянную (–1)^a за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции:
y^′(x) = (–1)^a  ((–x)^a )^′ = (–1)^a ( u^a )^′_x = (–1)^a ( u^a )^′_u ⋅ u^′ = (–1)^a ⋅ au^a – 1 ⋅ (–x)^′ =
 (–1)^a ⋅ a(–x)^a – 1 ⋅ (–1) = (–1) ⋅ (–1)^a ⋅ (–1)^a – 1 ⋅ ax^a – 1.
Здесь u = –x > 0. Но
(–1) ⋅ (–1)^a ⋅ (–1)^a – 1 = (–1) ⋅ (–1)^a ⋅ (–1)^a–1 = (–1)^a ⋅ (–1)^a.
Поскольку (–1)^a = (–1)^m / n = ±1, то
(–1)^a ⋅ (–1)^a = 1.
Тогда
y^′(x) = ax^a – 1.
То есть формула (1) справедлива и при x < 0:
(1)   ( x^a )^′ = a x^a – 1.

Производные высших порядков

Теперь найдем производные высших порядков от степенной функции
(3)   y = x^a.
Производную первого порядка мы уже нашли:
y^′ = ax^a – 1.

Вынося постоянную a за знак производной, находим производную второго порядка:
y^′′ = ( y^′ )^′ = ( ax^a – 1 )^′ = a( x^a – 1 )^′ = a(a – 1)x^a – 2.
Аналогичным образом находим производные третьего и четвертого порядков:
y^′′′ = ( y^′′ )^′ = ( a(a – 1)x^a – 2 )^′ = a(a – 1)( x^a – 2 )^′ = a(a – 1)(a – 2)x^a – 3;
y^IV = ( y^′′′ )^′ = ( a(a – 1)(a – 2)x^a – 3 )^′ = a(a – 1)(a – 2)( x^a – 3 )^′ =
 a(a – 1)(a – 2)(a – 3)x^a – 4.

Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка имеет следующий вид:
( x^a )⁽ⁿ⁾ = a (a – 1) (a – 2) ...  (a – n + 1) x^a – n.

Заметим, что если a является натуральным числом, a = n, то n-я производная является постоянной:
( xⁿ )⁽ⁿ⁾ = n!.
Тогда все последующие производные равны нулю:
( xⁿ )^(m) = 0,
при m > n.

Примеры вычисления производных

Пример

Найдите производную функции:
y = ( 3x³  √ x  + 5⁵√ x  – 2 )⁵.

Решение

Преобразуем корни к степеням:
x³  √ x  = x³  x^1 / 2 = x^3 + 12 = x^62 + 12 = x^7 / 2;
5⁵√ x  = 5 x^–1 / 5.
Тогда исходная функция приобретает вид:
y = ( 3 x^7 / 2 + 5 x^–1 / 5 – 2 )⁵.

Находим производные степеней:
( x^7 / 2 )^′ = 72  x^72 – 1 = 72  x^5 / 2;
( x^–1 / 5 )^′ = – 15  x^{– 15 – 1} = – 15  x^{– 15 – 55} = – 15  x^–6 / 5.
Производная постоянной равна нулю:
(2)^′ = 0.

Применяем правило дифференцирования суммы и выносим постоянные за знак производной:
( 3 x^7 / 2 + 5 x^–1 / 5 – 2 )^′ = 3 ( x^7 / 2 )^′ + 5 ( x^–1 / 5 )^′ – ( 2 )^′ = 3 ⋅ 72  x^5 / 2 – 5 ⋅ 15  x^–6 / 5 – 0 =
 212  x^5 / 2 – x^–6 / 5.

Применяем правило дифференцирования сложной функции:
y^′ = ( ( 3 x^7 / 2 + 5 x^–1 / 5 – 2 )⁵ )^′ = ( u⁵ )^′_x = ( u⁵ )^′_u ⋅ u^′_x =
 5 u^5 – 1 ⋅ ( 3 x^7 / 2 + 5 x^–1 / 5 – 2 )^′ = 5 ( 3 x^7 / 2 + 5 x^–1 / 5 – 2 )⁴ ⋅ (  212  x^5 / 2 – x^–6 / 5 ).
Здесь u = 3 x^7 / 2 + 5 x^–1 / 5 – 2.

Преобразуем степени в корни:
72 = 6 + 12 = 3 + 12;
x⁷² = x^3 + 12 = x³  √ x ;
x^–1 / 5 = 1⁵√ x ;
52 = 4 + 12 = 2 + 12;
x⁵² = x^2 + 12 = x²  √ x ;
x^– 65 = 1⁵√ x⁶ .

Ответ

y^′ = 5 ( 3 x³  √ x  + 5x⁵ – 2 )⁴ ⋅ (  212  x²  √ x  – 1⁵√ x⁶  )

Еще примеры

Найти производные следующих функций, зависящих от переменной x:
y(x) = ³√  x  √  2  √ x        Решение > > >       y(x) = x³ (x² – 1)²     Решение > > >       y(x) = √ 2x  – 5 ³√ x  + 3x²     Решение > > >       y(x) = x² + x + 1x² – x + 1     Решение > > >       y(x) = x²2 √ 1 – 3x⁴      Решение > > >      

Найти производную шестого порядка следующей функции:
y = (3x + 5)² (2x² + 3)(x + 7)².
Решение > > >

Все примеры > > >

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 09-04-2017