Производные элементарных функций. Доказательство теоремы

Теорема. Производные элементарных функций

Доказательство

Все, что нам требуется сделать – это вычислить предел:
(1)    f ^′(x) = lim_{Δx → 0}  f (x + Δx) –  f (x)Δx,
где  f (x) – одна из элементарных функций. Заметим, что функция за знаком предела зависит от двух переменных, x и Δx:
(2)    f (x + Δx) –  f (x)Δx = F(x,  Δx).
Сама элементарная функция  f (x) и ее производная  f ^′(x) зависят только от одной переменной x. Функция F(x,  Δx), определяемая по формуле (2), зависит от двух переменных. Но при вычислении производной, мы считаем, что переменная x принимает произвольное фиксированное значение, принадлежащее области определения функции. То есть мы считаем, что x является постоянной. Таким образом мы вычисляем предел от функции одной переменной:
(3)   φ(Δx) = F(x,  Δx), где x = const.

Для вычислений таких пределов нам нужно знать свойства элементарных функций. Они приводятся в разделе «Основные элементарные функции и их свойства». Доказательство свойств приводится в разделе «Непрерывность функций». Также нам нужно уметь вычислять пределы. Применяемые при этом методы изложены в разделе «Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей». И наконец, нужно знать правила вычисления производных. См. «Правила дифференцирования».

1) Производная постоянной функции

Докажем, что производная постоянной функции равна нулю:
(C)^′ = 0, где C – постоянная, C = const.
Пусть  f (x) = C – постоянная функция. Ее значения определены для всех x и не зависят от переменной x. Поэтому
φ(Δx) =  f (x + Δx) –  f (x)Δx = C – CΔx = 0, при Δx ≠ 0.
Таким образом, функция φ(Δx) определена для всех значений переменной Δx, кроме точки Δx = 0. Она является постоянной, равной нулю, φ(Δx) = 0, на всей области определения – то есть в любой проколотой окрестности точки Δx = 0. Тогда согласно теореме о пределе постоянной функции,
(C)^′ = lim_{Δx → 0} φ(Δx) = 0.

2) Производная показательной функции

Докажем, что производная показательной функции пропорциональна самой функции:
(a^x)^′ = a^x ⋅ ln a,  a > 0,  a ∈ R.

Воспользуемся свойствами показательной функции:
a^x + Δx – a^x = a^x ⋅ a^Δx – a^x = a^x (a^Δx – 1).
Применим следствие второго замечательного предела, согласно которому lim_{Δx → 0} a^Δx – 1Δx = ln a:
(a^x)^′ = lim_{Δx → 0} a^x + Δx – a^xΔx = lim_{Δx → 0}( a^x ⋅ a^Δx – 1Δx ) = a^x ⋅ lim_{Δx → 0} a^Δx – 1Δx = a^x ⋅ ln a.
Здесь мы также воспользовались арифметическими свойствами предела функции.

3) Производная экспоненты

Докажем, что производная экспоненты равна самой экспоненте:
(e^x)^′ = e^x.

Для доказательства, подставим в формулу производной показательной функции, значение основания степени, равного числу e. Также воспользуемся тем, что ln e ≡ log_e e = 1:
(e^x)^′ = e^x ⋅ ln e = e^x ⋅ 1 = e^x.

Среди всех показательных функций (с различными значениями основания a), производная экспоненты имеет наиболее простой вид. Многие вычисления в математическом анализе оказываются более простыми, если в качестве основания показательной функции использовать число e. Поэтому в математическом анализе, показательную функцию стремятся привести к основанию e, то есть к экспоненте.

4.1) Производная логарифма

Докажем, что
(log_a x)^′ = 1x ln a,   a > 0,  a ≠ 1,  x > 0.

Воспользуемся свойствами логарифма:
log_a (x + Δx) – log_a x = log_a x + Δxx = log_a ( 1 + Δxx ).
Преобразуем отношение приращения функции к приращению ее аргумента:
log_a (x + Δx) – log_a xΔx = log_a ( 1 + Δxx )Δx = 1x ⋅ log_a ( 1 + Δxx )Δx / x.
Сделаем подстановку t = Δx / x, и применим следствие второго замечательного предела, согласно которому   lim_t → 0 log_a (1 + t)t = 1ln a:
(log_a x)^′ = lim_{Δx → 0} log_a (x + Δx) – log_a xΔx = lim_{Δx → 0}(  1x ⋅ log_a ( 1 + Δxx )Δx / x ) =
 lim_t → 0(  1x ⋅ log_a (1 + t)t ) = 1x ⋅ lim_t → 0 log_a (1 + t)t = 1x ⋅ 1ln a = 1x ln a.
Здесь мы также воспользовались арифметическими свойствами предела функции.

4.2) Производная логарифма модуля

Докажем часто используемую формулу:
(log_a | x | )^′ = 1x ln a,   a > 0,  a ≠ 1,  x ≠ 0.

Рассмотрим функцию  f (x) = log_a | x |  как сложную, составленную из двух функций:
 f (x) = g(t(x)),   g(t) = log_a t,  t = t(x) = | x | .
Найдем производную модуля x.
При x > 0,  t(x) = | x |  = x;   t^′(x) = lim_{Δx → 0} x + Δx – xΔx = lim_{Δx → 0} ΔxΔx = 1.
При x < 0,  t(x) = | x |  = –x;   t^′(x) = –lim_{Δx → 0} x + Δx – xΔx = –lim_{Δx → 0} ΔxΔx = –1.
Тогда t^′(x) = ( | x | )^′ =  | x | x,  x ≠ 0.
Применяем формулу производной сложной функции:
(log_a | x | )^′ = g^′_t(t) ⋅ t^′_x(x) = 1t ln a ⋅  | x | x = 1 | x | ln a ⋅  | x | x = 1x ln a.

5) Производная натурального логарифма

Натуральный логарифм – это логарифм с основанием, равным числу e. Подставляя в формулы 4.1) и 4.2) a=e, имеем:
(ln x)^′ = 1x ln e = 1x ⋅ 1 = 1x,   x > 0;
(ln | x | )^′ = 1x ln e = 1x ⋅ 1 = 1x,   x ≠ 0.

6) Производная степенной функции

Докажем, что
(x^a)^′ = ax^a – 1,  a ∈ R,  x > 0.

Для доказательства, представим степенную функцию как сложную, составленную из экспоненты и натурального логарифма:
 f (x) = x^a = (e^ln x)^a = e^a ln x;
или  f (x) = g(t(x)),   g(t) = e^t,  t = t(x) = a ln x.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
 f ^′(x) = g^′_t(t) ⋅ t^′_x(x) = (e^t)^′_t ⋅ (a ln x)^′_x = e^t ⋅ a(ln x)^′_x = ae^t ⋅ 1x =
 ae^a ln x ⋅ 1x = a(e^ln x)^a ⋅ 1x = ax^a ⋅ 1x = ax^a – 1.
Здесь мы воспользовались свойствами степенной функции и правилом вынесения постоянной за знак производной, согласно которому (a ln x)^′ = a(ln x)^′.

7) Производная степенной функции с натуральным показателем степени

В предыдущем пункте мы считали, что показатель степени a является действительным числом, а переменная x больше нуля. Но если a является натуральным (a = 1, 2, 3,...), то степенная функция определена для всех действительных x. Докажем, что и в этом случае, производная степенной функции определяется по той же формуле, что и для действительных значений показателя степени:
(xⁿ)^′ = nx^n – 1,   n ∈ N,  n > 1,  x ∈ R.
Случай линейной функции с n = 1 рассмотрен ниже, поскольку при x = 0 и n = 1, приведенная формула приводит к неопределенному значению 0⁰.

Пусть x ≠ 0,  n > 1. Используем формулу бинома Ньютона:
(a + b)ⁿ = aⁿ + na^n – 1 b + n!2!(n – 2)! a^n – 2 b² + ⋅ ⋅ ⋅.
Тогда (x + Δx)ⁿ = xⁿ + nx^n – 1 Δx + o(Δx),
где o(Δx) = n!2!(n – 2)! x^n – 2 (Δx)² + n!3!(n – 3)! x^n – 3 (Δx)³ + ⋅ ⋅ ⋅.
(xⁿ)^′ = lim_{Δx → 0} (x + Δx)ⁿ – xⁿΔx = lim_{Δx → 0} xⁿ + nx^n – 1 Δx + o(Δx) – xⁿΔx =
 lim_{Δx → 0} nx^n – 1 Δx + o(Δx)Δx = lim_{Δx → 0}( nx^n – 1 + o(Δx)Δx ) =
 nx^n – 1 + lim_{Δx → 0} o(Δx)Δx = nx^n – 1 + 0 = nx^n – 1.

Выше мы предполагали, что x ≠ 0,  n > 1. Теперь рассмотрим случай x = 0,  n > 1.
(xⁿ)^′|_x = 0 = lim_{Δx → 0}(  (x + Δx)ⁿ – xⁿΔx |_x = 0 ) = lim_{Δx → 0} (0 + Δx)ⁿ – 0ⁿΔx =
 lim_{Δx → 0}(Δx)^n – 1 = 0^n – 1 = 0 = n ⋅ 0^n – 1.

Таким образом и при x ≠ 0, и при x = 0, производная определяется по одной и той же формуле: (xⁿ)^′ = nx^n – 1.

8) Производная линейной функции

Докажем, что производная линейной функции  f (x) = x равна единице:
(x)^′ = 1,  x ∈ R.

(x)^′ = lim_{Δx → 0} x + Δx – xΔx = lim_{Δx → 0} ΔxΔx.
Функция φ(Δx) = ΔxΔx определена для всех значений аргумента, кроме точки Δx = 0. При Δx ≠ 0, φ(Δx) = 1, то есть является постоянной. Применяем теорему о пределе постоянной функции:
(x)^′ = lim_{Δx → 0} ΔxΔx = 1.

9) Производные синуса и косинуса

Докажем, что производная синуса равна косинусу:
(sin x)^′ = cos x.

Преобразуем приращение функции синус, применяя формулы тригонометрии:
cos Δx – 1 = 1 – 2 sin² Δx2 – 1 = –2 sin² Δx2;
sin(x + Δx) – sin x = sin x cos Δx + cos x sin Δx – sin x =
 sin x(cos Δx – 1) + cos x sin Δx = –2 sin x sin² Δx2 + cos x sin Δx.
Выписываем отношение приращения функции синус к приращению ее аргумента и выполняем преобразования:
sin(x + Δx) – sin xΔx = –2 sin x sin² Δx2Δx + cos x sin ΔxΔx =
 –sin x ⋅ Δx2 ⋅ ( sin Δx2Δx2 )² + cos x sin ΔxΔx.
Применяем арифметические свойства предела функции и первый замечательный предел: (sin x)^′ = lim_{Δx → 0} sin(x + Δx) – sin xΔx =
 –sin x ⋅ ( lim_{Δx → 0} Δx2  ) ⋅ ( lim_{Δx → 0} sin Δx2Δx2  )² + cos x ⋅ lim_{Δx → 0} sin ΔxΔx =
 –sin x ⋅ 0 ⋅ 1² + cos x ⋅ 1 = cos x.

Аналогичным образом докажем, что производная косинуса равна минус синусу:
(cos x)^′ = –sin x.

cos Δx – 1 = 1 – 2 sin² Δx2 – 1 = –2 sin² Δx2;
cos(x + Δx) – cos x = cos x cos Δx – sin x sin Δx – cos x =
 cos x(cos Δx – 1) – sin x sin Δx = –2 cos x sin² Δx2 – sin x sin Δx;
cos(x + Δx) – cos xΔx = –2 cos x sin² Δx2Δx – sin x sin ΔxΔx =
 –cos x ⋅ Δx2 ⋅ ( sin Δx2Δx2 )² – sin x sin ΔxΔx;
(cos x)^′ = lim_{Δx → 0} cos(x + Δx) – cos xΔx =
 –cos x ⋅ ( lim_{Δx → 0} Δx2  ) ⋅ ( lim_{Δx → 0} sin Δx2Δx2  )² – sin x ⋅ lim_{Δx → 0} sin ΔxΔx =
 –cos x ⋅ 0 ⋅ 1² – sin x ⋅ 1 = –sin x.

10) Производные тангенса и котангенса

Докажем формулы производных тангенса и котангенса:
(tg x)^′ = 1cos² x,   (ctg x)^′ = – 1sin² x.
Для доказательства выразим эти функции через синус и косинус (см. «Тангенс и котангенс – свойства, графики, формулы»). Далее применим формулу производной дроби.

При cos x ≠ 0 имеем:
(tg x)^′ = ( sin xcos x )^′ = (sin x)^′ cos x – sin x(cos x)^′cos² x =
 cos x ⋅ cos x + sin x ⋅ sin xcos² x = cos² x + sin² xcos² x = 1cos² x.

При sin x ≠ 0 имеем:
(ctg x)^′ = ( cos xsin x )^′ = (cos x)^′ sin x – cos x(sin x)^′sin² x =
 –sin x ⋅ sin x – cos x ⋅ cos xsin² x = – sin² x + cos² xsin² x = – 1sin² x.

11) Производные арксинуса и арккосинуса

Докажем формулу производной арксинуса:
(arcsin x)^′ = 1√ 1 – x² .

Арксинус является функцией, обратной к синусу. При – π2 ≤ y ≤ π2   и   –1 ≤ x ≤ 1 имеют место следующие соотношения (см. «Арксинус, арккосинус – свойства, графики, формулы»):
y = arcsin x,  x = sin y.
Производную синуса мы знаем:
dxdy = (sin y)^′_y = cos y.
Применяем теорему о производной обратной функции:
(arcsin x)^′ = dydx = 1dxdy = 1cos y.
Используем соотношение: cos² y + sin² y = 1. Отсюда cos y = ± √ 1 – (sin y)² . Поскольку при – π2 ≤ y ≤ π2,   cos y ≥ 0, то
cos y = + √ 1 – (sin y)²  = √ 1 – x² . Тогда
(arcsin x)^′ = 1cos y = 1√ 1 – x² .

Аналогичным способом докажем формулу производной арккосинуса:
(arccos x)^′ = – 1√ 1 – x² .

При 0 ≤ y ≤ π   и   –1 ≤ x ≤ 1 имеем:
y = arccos x,  x = cos y;
dxdy = (cos y)^′_y = –sin y;
(arccos x)^′ = dydx = 1dxdy = – 1sin y.
Поскольку при 0 ≤ y ≤ π,   sin y ≥ 0, то
sin y = + √ 1 – (cos y)²  = √ 1 – x² . Тогда
(arccos x)^′ = – 1sin y = – 1√ 1 – x² .

Заметим, что формулу для арккосинуса можно было доказать, используя формулу:
arcsin x + arccos x = π2.

12) Производные арктангенса и арктангенса

Докажем формулу производной арктангенса:
(arctg x)^′ = 11 + x².

Арктангенс является функцией, обратной к тангенсу. При – π2 < y < π2   и   –∞ < x < +∞ имеют место следующие соотношения (см. «Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы»):
y = arctg x,  x = tg y.
Производную тангенса мы знаем:
dxdy = (tg y)^′_y = 1cos² y.
Применяем теорему о производной обратной функции:
(arctg x)^′ = dydx = 1dxdy = cos² y.
Используем соотношение: cos² y + sin² y = 1. Тогда
1(arctg x)^′ = 1cos² y = cos² y + sin² ycos² y = 1 + ( sin ycos y )² = 1 + (tg y)² = 1 + x²;
(arctg x)^′ = 11 + x².

Аналогичным способом докажем формулу производной арккотангенса:
(arcctg x)^′ = – 11 + x².

При 0 < y < π   и   –∞ < x < +∞ имеем:
y = arcctg x,  x = ctg y;
dxdy = (ctg y)^′_y = – 1sin² y;
(arcctg x)^′ = dydx = 1dxdy = –sin² y;
1(arcctg x)^′ = – 1sin² y = – sin² + cos² ysin² y = –1 – ( cos ysin y )² =
 –1 – (ctg y)² = –1 – x²;
(arcctg x)^′ = – 11 + x².

Формулу для арккотангенса также можно доказать, используя соотношение:
arctg x + arcctg x = π2.

13) Производные гиперболического синуса и гиперболического косинуса

Докажем, что производная гиперболического синуса равна гиперболическому косинусу:
(sh x)^′ = ch x.

Согласно определению гиперболического синуса,
sh x = 12 (e^x – e^–x).
Применяем правила дифференцирования:
(sh x)^′ = 12 ((e^x)^′ – (e^–x)^′) = 12 ( e^x – de^(–x)d(–x) ⋅ d(–x)dx ) = 12 ( e^x – e^–x ⋅ (–1) ) =
 12 (e^x + e^–x) = ch x.

Аналогичным образом доказываем, что производная гиперболического косинуса равна гиперболическому синусу:
(ch x)^′ = sh x.

Согласно определению гиперболического косинуса,
ch x = 12 (e^x + e^–x).
Применяем правила дифференцирования:
(ch x)^′ = 12 ((e^x)^′ + (e^–x)^′) = 12 ( e^x + de^(–x)d(–x) ⋅ d(–x)dx ) = 12 ( e^x + e^–x ⋅ (–1) ) =
 12 (e^x – e^–x) = sh x.

14) Производные гиперболического тангенса и гиперболического котангенса

Докажем формулы производных гиперболического тангенса и гиперболического котангенса:
(th x)^′ = 1ch² x,   (ctg x)^′ = – 1sh² x.
Для доказательства выразим эти функции через гиперболические синус и косинус (см. «Определения гиперболических функций»), и применим формулу производной дроби.

(th x)^′ = ( sh xch x )^′ = (sh x)^′ ch x – sh x(ch x)^′ch² x =
 ch x ⋅ ch x – sh x ⋅ sh xcos² x = ch² x – sh² xch² x = 1ch² x.

При x ≠ 0 имеем:
(cth x)^′ = ( ch xsh x )^′ = (ch x)^′ sh x – ch x(sh x)^′sh² x =
 sh x ⋅ sh x – ch x ⋅ ch xsin² x = – ch² x – sh² xsh² x = – 1sh² x.

15) Производные гиперболического арксинуса и гиперболического арккосинуса

Докажем формулу производной гиперболического арксинуса:
(arsh x)^′ = 1√ x² + 1 .

Для этого воспользуемся свойствами обратных гиперболических функций. Для действительных x и y имеют место следующие соотношения:
y = arsh x,  x = sh y.
Производную гиперболического синуса мы знаем:
dxdy = (sh y)^′_y = ch y.
Применяем теорему о производной обратной функции:
(arsh x)^′ = dydx = 1dxdy = 1ch y.
Используем соотношение: ch² y – sh² y = 1. Отсюда ch y = ± √ 1 + (sh y)² . Поскольку ch y ≥ 1, то
ch y = + √ 1 + (sh y)²  = √ 1 + x² . Тогда
(arsh x)^′ = 1ch y = 1√ 1 + x² .

Аналогичным способом докажем формулу производной гиперболического арккосинуса:
(arch x)^′ = 1√ x² – 1 .

При y ≥ 0   и   x ≥ 1 имеем:
y = arch x,  x = ch y;
dxdy = (ch y)^′_y = sh y;
(arch x)^′ = dydx = 1dxdy = 1sh y.
Поскольку при y ≥ 0,   sh y ≥ 0, то
sh y = + √ (ch y)² – 1  = √ x² – 1 . Тогда
(arch x)^′ = 1sh y = 1√ x² – 1 .

16) Производные гиперболического арктангенса и гиперболического арктангенса

Докажем формулу производной гиперболического арктангенса:
(arth x)^′ = 11 – x².

Гиперболический арктангенс является функцией, обратной к гиперболическому тангенсу. При –∞ < y < +∞   и   –1 < x < 1 имеют место следующие соотношения (см. «Обратные гиперболические функции, их графики и формулы»):
y = arth x,  x = th y.
Производную гиперболического тангенса мы знаем:
dxdy = (th y)^′_y = 1ch² y.
Применяем теорему о производной обратной функции:
(arth x)^′ = dydx = 1dxdy = ch² y.
Используем соотношение: ch² y – sh² y = 1. Тогда
1(arth x)^′ = 1ch² y = ch² y – sh² ych² y = 1 – ( sh ych y )² = 1 – (th y)² = 1 – x²;
(arth x)^′ = 11 – x².

Аналогичным способом докажем формулу производной гиперболического арккотангенса:
(arcth x)^′ = – 1x² – 1.

При y ≠ 0   и    | x |  > 1 имеем:
y = arcth x,  x = cth y;
dxdy = (cth y)^′_y = – 1sh² y;
(arcth x)^′ = dydx = 1dxdy = –sh² y;
1(arcth x)^′ = – 1sh² y = – ch² y – sh² ysh² y =  – ( ch ysh y )² + 1 =
  – (cth y)² + 1 = –x² + 1;
(arcth x)^′ = – 1x² – 1.

Теорема доказана.