Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
( cos x )′ = – sin x.
Доказательство
Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(1) ;
2) Свойство непрерывности функции синус:
(2) ;
3) Значение первого замечательного предела:
(3) ;
4) Свойство предела от произведения двух функций:
Если и , то
(4) .
Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1) ;
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.
Сделаем подстановку . При , . Используем свойство непрерывности (2):
.
Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Тем самым мы получили формулу производной косинуса.
Примеры
Все примеры Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = cos 3 x и y = cos n x
Пример 1
Все примерыНайти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx.
Решение
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx. Затем, в производную от cos nx, подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x.
Итак, находим производную от функции
y = cos nx.
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Подставим :
(П1) .
Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.
Ответ
;
;
.
См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >
Пример 2
Все примеры Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2 x; y = cos 3 x; y = cos n x.
Решение
В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции – косинуса в степени n:
y = cos n x.
Затем подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.
Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.
Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Подставим :
(П2) .
Теперь подставим и :
;
.
Далее мы можем применить формулу для произведения синуса и косинуса:
.
Тогда
.
Ответ
;
;
.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .
Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.