Производная косинуса: (cos x)′

Представлено доказательство и вывод формулы для производной косинуса - cos(x). Примеры вычисления производных от cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадрате, в кубе и в степени n. Формула производной косинуса n-го порядка.

Содержание

См. также:

Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
( cos x )′ = – sin x.

Доказательство

Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
( cos x )^′ = lim_{Δx → 0} cos(x + Δx) – cos xΔx.

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(1) cos a – cos b = 2 sin a + b2 sin b – a2;
2) Свойство непрерывности функции синус:
(2) lim_t → 0 sin(x + t) = sin(x);
3) Значение первого замечательного предела:
(3) lim_t → 0 sin tt = 1;
4) Свойство предела от произведения двух функций:
Если lim_x → a f (x) = F и lim_x → a g(x) = G, то
(4) lim_x → a( f (x) ⋅ g(x)) = (lim_x → a f (x)) ⋅ (lim_x → a g(x)) = F ⋅ G.

Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
cos(x + Δx) – cos x.
Для этого применим формулу
(1) cos a – cos b = 2 sin a + b2 sin b – a2;
В нашем случае
a = x + Δx; b = x. Тогда
a + b2 = x + Δx + x2 = 2x + Δx2 = x + Δx2;
b – a2 = x – x – Δx2 = – Δx2;
cos(x + Δx) – cos x = 2 sin( x + Δx2 ) ⋅ sin( – Δx2 ) = –2 sin( x + Δx2 ) ⋅ sin Δx2;
cos(x + Δx) – cos xΔx = – 2 sin( x + Δx2 ) ⋅ sin Δx2Δx = –sin( x + Δx2 ) ⋅ sin Δx2Δx2.

Сделаем подстановку Δx2 = t. При Δx → 0, t → 0. Используем свойство непрерывности (2):
lim_{Δx → 0} sin( x + Δx2 ) = lim_t → 0 sin( x + t ) = sin x.

Сделаем такую же подстановку Δx2 = t и применим первый замечательный предел (3):
lim_{Δx → 0} sin Δx2Δx2 = lim_t → 0 sin tt = 1.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
( cos x )^′ = lim_{Δx → 0} cos(x + Δx) – cos xΔx = –lim_{Δx → 0}[ sin( x + Δx2 ) ⋅ sin Δx2Δx2 ] =
–lim_{Δx → 0}[ sin( x + Δx2 ) ] ⋅ lim_{Δx → 0}[ sin Δx2Δx2 ] = –sin x ⋅ 1 = –sin x.

Тем самым мы получили формулу производной косинуса.

Примеры

Все примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos² x; y = cos³ x и y = cosⁿ x

Пример 1

Все примеры

Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx. Затем, в производную от cos nx, подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x.

Итак, находим производную от функции
y = cos nx.
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции u = nx, зависящей от переменной x: u = u(x);
2) Функции f = cos u, зависящей от переменной u: f = f (u).
Тогда исходная функция y(x) является сложной (составной) функцией, составленной из функций f и u:
y(x) = f (u(x)).

Найдем производную от функции u по переменной x:
u^′ = (nx)^′ = n(x)^′ = n ⋅ 1 = n.
Найдем производную от функции f по переменной u:
f ^′_u = (cos u)^′_u = –sin u.
Применяем формулу производной сложной функции.
y^′_x = f ^′_u ⋅ u^′_x = –sin u ⋅ n = –n sin u.
Подставим u = nx:
(П1) y^′ = ( cos nx )^′ = –n sin nx.

Теперь, в формулу (П1) подставим n = 2 и n = 3:
( cos 2x )^′ = –2 sin 2x;
( cos 3x )^′ = –3 sin 3x.

Ответ

( cos 2x )^′ = –2 sin 2x;
( cos 3x )^′ = –3 sin 3x;
( cos nx )^′ = –n sin nx.

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Пример 2

Все примеры

Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos² x; y = cos³ x; y = cosⁿ x.

Решение

В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции – косинуса в степени n:
y = cosⁿ x.
Затем подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.

Итак, нам нужно найти производную от функции
y = cosⁿ x.
Перепишем ее в более понятном виде:
y = cosⁿ x ≡ ( cos x )ⁿ.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции u = cos x, зависящей от переменной x: u = u(x);
2) Функции f = uⁿ, зависящей от переменной u: f = f (u).
Тогда исходная функция y(x) является сложной функцией, составленной из двух функций f и u:
y(x) = f (u(x)).

Находим производную от функции u по переменной x:
u^′ = (cos x)^′ = –sin x.
Находим производную от функции f по переменной u:
f ^′_u = ( uⁿ )^′_u = nu^n – 1.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
y^′_x = f ^′_u ⋅ u^′_x = nu^n – 1 ⋅ (–sin x) = –n sin x ⋅ u^n – 1.
Подставим u = cos x:
(П2) y^′ = ( cosⁿ x )^′ = –n sin x ⋅ cos^n – 1 x.

Теперь подставим n = 2 и n = 3:
( cos² x )^′ = –2 sin x ⋅ cos x;
( cos³ x )^′ = –3 sin x ⋅ cos² x.

Далее мы можем применить формулу для произведения синуса и косинуса:
2 sin x ⋅ cos x = sin 2x.
Тогда
( cos² x )^′ = –2 sin x ⋅ cos x = –sin 2x.

Ответ

( cos² x )^′ = –2 sin x ⋅ cos x = –sin 2x;
( cos³ x )^′ = –3 sin x ⋅ cos² x;
( cosⁿ x )^′ = –n sin x ⋅ cos^n – 1 x.

Производные высших порядков

Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
( cos x )^′ = –sin x = cos( x + π2 ).

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:
( cos x )^′′ = ( (cos x)^′ )^′ = ( cos( x + π2 ) )^′ = ( cos u )^′_x = ( cos u )^′_u ⋅ u^′_x =
cos( u + π2 ) ⋅ ( x + π2 )^′_x = cos( x + π2 + π2 ) ⋅ 1 = cos( x + 2 π2 ).
Здесь u = x + π2.

Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на π2. Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) ( sin x )⁽ⁿ⁾ = sin( x + n π2 ).

Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 05-03-2017

См. также: