Вывод производных арктангенса (arctg x)′ и арккотангенса (arcctg x)′
Производная по переменной x от арктангенса x равна единице, деленной на один плюс x в квадрате:
(arctg x) ′ = 11 + x 2.
Производная по переменной x от арккотангенса x равна минус производной от арктангенса. То есть она равна минус единице, деленной на один плюс x в квадрате:
(arcctg x) ′ = – 11 + x 2.
Вывод производной арктангенса
Здесь мы полагаем, что нам известна производная тангенса:
(tg x) ′ = 1cos 2 x.
Далее мы выводим формулу производной арктангенса, учитывая, что арктангенс является функцией, обратной к тангенсу.
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арктангенс:
y = arctg x.
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
–∞ < x < ∞.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
– π2 < y < π2.
Арктангенс является функцией, обратной к тангенсу:
x = tg y.
Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1) dydx = 1dxdy.
Производная тангенса нам известна:
dydx = (tg x) ′ = 1cos 2 x.
Здесь y = tg x.
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
dxdy = 1cos 2 y,
где x = tg y.
Подставим в формулу (1):
(2) dydx = cos 2 y.
Здесь
y = arctg x;
x = tg y.
Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого воспользуемся формулой cos 2 y + sin 2 y = 1 и выполним преобразования:
1cos 2 y = cos 2 y + sin 2 ycos 2 y = 1 + ( sin ycos y ) 2 = 1 + (tg y) 2 = 1 + x 2.
Отсюда
cos 2 y = 11 + x 2.
Подставим в (2):
dydx = 11 + x 2.
Тем самым мы вывели формулу производной арктангенса:
(arctg x) ′ = 11 + x 2.
Второй способ
Поскольку арктангенс и тангенс являются взаимно обратными функциями, то
(3) tg(arctg x) = x.
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4) (tg(arctg x)) ′ = (x ) ′.
Из таблицы производных имеем:
(x) ′ = ( x 1 ) ′ = 1 ⋅ x 1 – 1 = x 0 = 1.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
(tg(arctg x)) ′ = (tg y ) ′x = (tg y ) ′y ⋅ y ′x = 1cos 2 y ⋅ (arctg x) ′.
Здесь y = arctg x.
Далее выполним преобразования:
1cos 2 y = cos 2 y + sin 2 ycos 2 y = 1 + ( sin ycos y ) 2 = 1 + (tg y) 2 = 1 + x 2.
Тогда
(tg(arctg x)) ′ = 1cos 2 y ⋅ (arctg x) ′ = ( 1 + x 2 ) ⋅ (arctg x) ′.
Подставим в (4):
( 1 + x 2 ) ⋅ (arctg x) ′ = 1.
Отсюда
(arctg x) ′ = 11 + x 2.
Вывод производной арккотангенса
Используя связь между арктангенсом и арккотангенсом
Производную арккотангенса можно получить из производной арктангенса, если воспользоваться связью между арктангенсом и арккотангенсом:
arcctg x = π2 – arctg x.
Отсюда
(arcctg x) ′ =– (arctg x) ′ = – 11 + x 2.
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арккотангенс:
y = arcctg x.
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
–∞ < x < ∞.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
0 < y < π.
Арккотангенс является функцией, обратной к котангенсу:
x = ctg y.
Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1) dydx = 1dxdy.
Считаем, что производная котангенса нам известна:
dydx = (ctg x) ′ = – 1sin 2 x.
Здесь y = ctg x.
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
dxdy = – 1sin 2 y,
где x = ctg y.
Подставим в формулу (1):
(5) dydx = –sin 2 y.
Здесь
y = arcctg x;
x = ctg y.
Выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Для этого выполним преобразования:
1sin 2 y = sin 2 y + cos 2 ysin 2 y = 1 + ( cos ysin y ) 2 = 1 + (ctg y) 2 = 1 + x 2.
Отсюда
sin 2 y = 11 + x 2.
Подставим в (5):
dydx = – 11 + x 2.
Таким образом, мы вывели формулу производной арккотангенса:
(arcctg x) ′ = – 11 + x 2.
Второй способ
Поскольку арккотангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, то
(6) ctg(arcctg x) = x.
Продифференцируем это уравнение по переменной x:
(7) (ctg(arcctg x)) ′ = (x ) ′.
Из таблицы производных находим:
(x) ′ = ( x 1 ) ′ = 1 ⋅ x 1 – 1 = x 0 = 1.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
(ctg(arcctg x)) ′ = (ctg y ) ′x = (ctg y ) ′y ⋅ y ′x = – 1sin 2 y ⋅ (arcctg x) ′.
Здесь y = arcctg x.
Далее выполним преобразования:
1sin 2 y = sin 2 y + cos 2 ysin 2 y = 1 + ( cos ysin y ) 2 = 1 + (ctg y) 2 = 1 + x 2.
Тогда
(ctg(arcctg x)) ′ = – 1sin 2 y ⋅ (arcctg x) ′ = – ( 1 + x 2 ) ⋅ (arcctg x) ′.
Подставим в (7):
– ( 1 + x 2 ) ⋅ (arcctg x) ′ = 1.
Отсюда
(arcctg x) ′ = – 11 + x 2.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: