Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a
Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a
Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1) (ln x) ′ = 1x.
Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a:
(2) (loga x) ′ = 1x ln a.
Далее мы приводим вывод этих формул.
Доказательство
Пусть a есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x, которая является логарифмом по основанию a:
y = loga x.
Эта функция определена при x > 0. Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
(3) y ′ = limΔx → 0 y(x + Δx) – y(x)Δx = limΔx → 0 loga (x + Δx) – loga xΔx.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А) Свойства логарифма. Нам понадобятся следующие формулы:
(4) loga b – loga c = loga bc;
(5) b loga c = loga c b;
(6) loga b = logc blogc a;
Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7) limx → x0 loga ( f (x)) = loga (limx → x0 f (x)).
Здесь f (x) – некоторая функция, у которой существует предел limx → x0 f (x) и этот предел положителен.
В) Значение второго замечательного предела:
(8) limt → ∞( 1 + 1t ) t = e.
Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
loga (x + Δx) – loga xΔx.
Для этого применим свойства (4) и (5).
loga (x + Δx) – loga xΔx = 1Δx ( loga (x + Δx) – loga x ) = 1Δx loga x + Δxx =
1x ⋅ xΔx loga ( 1 + Δxx ) = 1x ⋅ loga ( 1 + Δxx ) xΔx.
Далее сделаем подстановку t = xΔx. При Δx → 0, t → ∞. Тогда
y ′ = limΔx → 0 loga (x + Δx) – loga xΔx = 1x ⋅ limΔx → 0 loga ( 1 + Δxx ) xΔx =
1x ⋅ limt → ∞ loga ( 1 + 1t ) t.
Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
y ′ = 1x ⋅ limt → ∞ loga ( 1 + 1t ) t = 1x ⋅ loga [ limt → ∞( 1 + 1t ) t ] = 1x ⋅ loga e.
И, наконец, применим свойство (6):
loga e = loge eloge a = 1loge a.
Логарифм по основанию e = limt → ∞( 1 + 1t ) t называется натуральным логарифмом. Он обозначается так:
loge x ≡ ln x.
Тогда loga e = 1ln a;
y ′ = 1x ⋅ loga e = 1x ⋅ 1loge a = 1x ⋅ 1ln a = 1x ln a.
Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.
Производная натурального логарифма
Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a:
( loga x ) ′ = 1x ln a.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого a = e, ln a = ln e = 1. Тогда
(1) ( ln x ) ′ = 1x.
Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):
loga x = loge xloge a ≡ ln xln a.
Производную логарифма по основанию a можно найти из формулы (1), если вынести постоянную 1ln a за знак дифференцирования:
( loga x ) ′ = ( ln xln a ) ′ = ( 1ln a ⋅ ln x ) ′ = 1ln a ⋅ ( ln x ) ′ = 1ln a ⋅ 1x = 1x ln a.
Другие способы доказательство производной логарифма
Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9) ( e x ) ′ ≡ de xdx = e x.
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.
Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции:
dydx = 1dxdy.
В нашем случае y = ln x. Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
x = e y.
Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:
de ydy = e y.
Поскольку x = e y, то
dxdy = de ydy = e y = x.
Тогда
dydx = 1dxdy = 1x.
Формула доказана.
Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции. Поскольку функции ln x и e x являются обратными друг к другу, то
e ln x = x.
Дифференцируем это уравнение по переменной x:
(10) ( e ln x ) ′ = (x) ′.
Производная от икса равна единице:
( x ) ′ = ( x 1 ) ′ = 1 ⋅ x 1 – 1 = 1 ⋅ x 0 = 1 ⋅ 1 = 1.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
( e ln x ) ′ = ( e u ) ′u ⋅ u ′x = e u ⋅ ( ln x ) ′ = e ln x ⋅ ( ln x ) ′ = x ⋅ ( ln x ) ′.
Здесь u = ln x. Подставим в (10):
x ⋅ ( ln x ) ′ = 1.
Отсюда
( ln x ) ′ = 1x.
Пример
Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx.
Решение
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x.
Итак, ищем производную от функции
y = ln nx.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции u = nx, зависящей от переменной x: u = u(x);
2) Функции f = ln u, зависящей от переменной u: f = f (u).
Тогда исходная функция y(x) составлена из функций f и u:
y(x) = f (u(x)).
Найдем производную от функции u по переменной x:
u ′ = (nx) ′ = n(x) ′ = n ⋅ 1 = n.
Найдем производную от функции f по переменной u:
f ′u = (ln u) ′u = 1u.
Применяем формулу производной сложной функции.
y ′x = f ′u ⋅ u ′x = 1u ⋅ n = 1nx ⋅ n = 1x.
Здесь мы подставили u = nx.
Итак, мы нашли:
(11) ( ln nx ) ′ = 1x.
Мы видим, что производная не зависит от n. Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
ln nx = ln n + ln x.
ln n – это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
( ln nx ) ′ = ( ln n + ln x ) ′ = ( ln n ) ′ + ( ln x ) ′ = 0 + 1x = 1x.
Ответ
( ln 2x ) ′ = 1x; ( ln 3x ) ′ = 1x; ( ln nx ) ′ = 1x.
См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >
Производная логарифма модуля x
Найдем производную от еще одной очень важной функции – натурального логарифма от модуля x:
(12) y = ln | x | .
Рассмотрим случай x > 0. Тогда | x | = x и функция имеет вид:
y = ln x.
Ее производная определяется по формуле (1):
y ′ = 1x.
Теперь рассмотрим случай x < 0. Тогда | x | = –x и функция имеет вид:
y = ln(–x) = ln((–1) ⋅ x ) = ln nx,
где n = –1.
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна
( ln nx ) ′ = 1x.
Тогда
(ln(–x)) ′ = 1x.
Объединяем эти два случая в одну формулу:
( ln | x | ) ′ = 1x.
Соответственно, для логарифма по основанию a, имеем:
( loga | x | ) ′ = ( ln | x | ln a ) ′ = 1ln a ( ln | x | ) ′ = 1ln a ⋅ 1x = 1x ln a.
Производные высших порядков натурального логарифма
Рассмотрим функцию
y = ln | x | .
Мы нашли ее производную первого порядка:
(13) y ′ = 1x.
Найдем производную второго порядка:
y ′′ = ( 1x ) ′ = ( x –1 ) ′ = –1 ⋅ x –1 – 1 = –x –2 = – 1x 2.
Найдем производную третьего порядка:
y ′′′ =– ( x –2 ) ′ = 1 ⋅ (–2) ⋅ x –2 – 1 = 1 ⋅ 2 ⋅ x –3 = 1 ⋅ 2x 3.
Найдем производную четвертого порядка:
y IV = 1 ⋅ 2 ⋅ ( x –3 ) ′ = 1 ⋅ 2 ⋅ (–3) ⋅ x –3 – 1 = –1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ x –4 = – 1 ⋅ 2 ⋅ 3x 4.
Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14) y (n) = (–1) n – 1 (n – 1)!x n.
Докажем это методом математической индукции.
Доказательство
Подставим в формулу (14) значение n = 1:
y ′ = (–1) 1 – 1 (1 – 1)!x 1 = (–1) 0 ⋅ 0!x = 1 ⋅ 1x = 1x.
Поскольку ( ln | x | ) ′ = 1x, то при n = 1, формула (14) справедлива.
Предположим, что формула (14) выполняется при n = k. Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1.
Действительно, при n = k имеем:
y (k) = (–1) k – 1 (k – 1)!x k = (–1) k – 1 (k – 1)! x –k.
Дифференцируем по переменной x:
y (k + 1) = (–1) k – 1 (k – 1)! ( x –k ) ′ = (–1) k – 1 (k – 1)! ⋅ (–k) x –k – 1 =
(–1) k – 1 (k – 1)! ⋅ (–1) ⋅ k ⋅ x –k – 1 = (–1) k + 1 – 1 k!x k + 1.
Итак, мы получили:
y (k + 1) = (–1) k + 1 – 1 (k + 1 – 1)!x k + 1.
Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1. Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1.
Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n.
Производные высших порядков логарифма по основанию a
Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a, нужно выразить его через натуральный логарифм:
y = loga | x | = ln xln a = 1ln a ⋅ ln x.
Применяя формулу (14), находим n-ю производную:
y (n) = ( loga | x | ) (n) = 1ln a ( ln x ) (n) = (–1) n – 1 (n – 1)!x n ln a.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: