Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы
Определение обратных тригонометрических функций
Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x, при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x. Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y.
Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.
- Арксинус ( y = arcsin x )
- – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения и множество значений .
- Арккосинус ( y = arccos x )
- – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
- Арктангенс ( y = arctg x )
- – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
- Арккотангенс ( y = arcctg x )
- – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .
Графики обратных тригонометрических функций
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x. См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.
Основные формулы
Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x
arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x
Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции
См. Вывод формул обратных тригонометрических функций
Формулы суммы и разности
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
при
при
при
при
при
при
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: