Решение квадратных уравнений онлайн (нахождение корней)
Калькулятор корней квадратного уравнения
Дано квадратное уравнение:
ax2 + bx + c = 0
Введите значения коэффициентов
Описание онлайн калькулятора
Чтобы найти корни квадратного уравнения:
(1) ,
введите в соответствующие поля значения коэффициентов , и и нажмите кнопку “Рассчитать корни”. Если коэффициенты введены правильно, то ниже появятся результаты расчета. Если один из коэффициентов введен не правильно, то появится сообщение об ошибке.
Правила ввода чисел
Допустим мы имеем значение коэффициента уравнения . Тогда в поле ввода нужно ввести число в одном из следующих форматов:
–6,626*10^–34
–6.626*10^–34
–6,626e–34 (здесь e – латинское)
–6.626e–34 (здесь e – латинское)
Пробелы не допустимы.
Разделителем целой и дробной части числа может быть запятая или точка.
Перед порядком числа нужно ввести *10^ или e на латинской клавиатуре.
Ввод чисел с погрешностями
Калькулятор можно использовать, и если коэффициенты квадратного уравнения получены в результате обработки экспериментальных данных. Тогда, возможно, коэффициенты a, b, c квадратного уравнения будут не точными числами, а иметь погрешности. В этом случае после ввода значения коэффициента следует ввести два символа ′+-′, а за ними значение погрешности. Пробелы также не допустимы.
Например, если у вас , то нужно ввести
123,7+-3,4
Результаты расчета
Кроме определения корней квадратного уравнения, онлайн калькулятор также вычисляет погрешности, возникающие в результате округления чисел при выполнении расчета.
Если сами коэффициенты квадратного уравнения введены с указанием погрешностей, то вычисляются и ошибки, связанные с неточностями определения коэффициентов.
Ошибки вычислений имеют два вида:
1. Предельные погрешности.
2. Статистические погрешности.
Предельные погрешности
Предельные погрешности – это величины наибольших отклонений точных значений корней от рассчитанных. Если введены точные значения коэффициентов a, b, c, то могут возникать ошибки, связанные с округлением чисел при выполнении расчета. Предельные погрешности показывают границы, в которых заключены точные значения корней.
Если исходные значения коэффициентов не являются точными, но известны их предельные погрешности, то значения коэффициентов следует вводить с указанием их погрешностей. Тогда следует использовать результат в блоке «Предельные погрешности».
Например, если
x1 = –9,08527 ± 0,000023,
то точное значение корня находится в пределах
–9,08527 – 0,000023 ≤ x1 ≤ –9,08527 + 0,000023;
–9,085293 ≤ x1 ≤ –9,085247.
Статистические погрешности
Статистические погрешности носят вероятностный характер. Они применяются, когда коэффициенты a, b, c введены с погрешностями, связанными с неточностью измерительных приборов.
Обычно данные экспериментов записывают так:
.
Это означает, что с вероятностью 0,683, значение величины a находится в пределах
.
Если ввести значение коэффициентов со статистическими погрешностями, то правильный результат показан в блоке «Статистические погрешности с вероятностью 0,683».
В блоке «Статистические погрешности с вероятностью 0,997» показаны практически достоверные значения корней.
Статистические погрешности рассчитываются и при введении точных значений коэффициентов a, b, c. Они широко используются в вычислительной математике наряду с предельными погрешностями. Однако статистические погрешности дают точную оценку при большом объеме вычислений. Для расчета корней квадратного уравнения они практически не актуальны.
Метод расчета
Чтобы решить квадратное уравнение
(1) ,
мы находим его дискриминант:
.
Если , то уравнение (1) имеет два действительных корня:
; .
Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных действительных корня:
; ; .
Если , то корни комплексно сопряженные:
;
.
Здесь – мнимая единица, ;
и – действительная и мнимая части корней:
; .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: