Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах
Подробнее, см. Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах
Уравнения, содержащие переменную и старшую производную
Разрешенные относительно старшей производной
Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием
Разрешенные относительно переменной
Рассмотрим дифференциальное уравнение, в котором независимая переменная x является функцией от старшей производной:
.
Это уравнение можно решить параметрическим методом. Для этого вводим параметр . В результате получаем:
;
.
Из последнего уравнения . Интегрируя, получаем зависимость производной от x в параметрическом виде:
.
Продолжая интегрирование аналогичным образом, получим зависимость y от x в параметрическом виде.
Общий случай
Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только независимую переменную и старшую производную общего вида:
.
Его можно решить в квадратурах в параметрическом виде, если удастся подобрать такие функции и , для которых .
Если такие функции найдены, то положим . Тогда исходное уравнение выполняется автоматически. Дифференцируя первую функцию, находим связь между дифференциалами переменных x и t: . Тогда
.
Интегрируя последнее соотношение, получаем решение для производной более низкого порядка в параметрическом виде. Продолжая действовать подобным способом, получим общее решение в квадратурах.
Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-1
Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-1-го порядков:
.
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению
.
Тогда положим
.
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению .
Тогда
;
.
Интегрируя эти уравнения, получим параметрическое представление производной порядка n – 2. Продолжая подобным образом, получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t.
Подробнее, см. здесь.
Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-2
Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-2-го порядков:
.
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению
.
Положим
.
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению.
Тогда
;
;
;
;
.
Интегрируя, получим параметрическое представление производных порядка n, n – 1 и n – 2. Далее интегрируем как в предыдущем случае ⇑. В результате получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t.
Подробнее, см. здесь.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде
Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь – функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде
Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде
Для решения этого уравнения, делаем подстановку
.
Считаем, что является функцией от . Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде
Однородные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, однородные относительно функции и ее производных
Дифференциальное уравнение
является однородным относительно функции и ее производных, если оно обладает свойством:
.
Здесь t – число или любая функция; число p называют показателем однородности.
Чтобы распознать такое уравнение, нужно сделать замену
.
Если после преобразований t сократится, то это однородное уравнение.
Для его решения делаем подстановку
,
где – функция от . Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков
Обобщенно однородные уравнения относительно переменных
Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения, которые не меняют вида, если сделать замену переменных: , где c – постоянная; s – измерение однородности для переменной y. При такой замене производная порядка m умножается на :
.
Если записать исходное уравнение в общем виде:
,
то оно является обобщенно однородным относительно переменных, если обладает свойством:
,
где t – число или любая функция; p – показатель однородности.
При подобные уравнения можно назвать однородными дифференциальными уравнениями относительно переменных.
Порядок такого уравнения можно понизить на единицу, если искать решение в параметрическом виде, и перейти от зависимой переменной (функции) y к новой зависимой переменной (новой функции) с помощью подстановок:
, где t – параметр.
В результате для функции получим дифференциальное уравнение n - го порядка, которое не содержит переменную t в явном виде. Далее понижаем порядок изложенным выше методом ⇑.
См. Обобщенно однородные дифференциальные уравнения относительно переменных высших порядков
Дифференциальные уравнения с полной производной
Это уравнения, которые можно привести к полной производной:
.
Отсюда сразу получаем первый интеграл:
.
Он представляет собой дифференциальное уравнение, на единицу меньшего порядка по сравнению с исходным уравнением .
В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Разделим его на . Тогда
.
Отсюда получаем первый интеграл, который является дифференциальным уравнением первого порядка:
.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1) ,
где – функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2) ,
где – произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка – это n линейно независимых решений этого уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где – общее решение однородного уравнения (1).
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида:
(3) .
Здесь – действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2) .
Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(4) .
Если это уравнение имеет различные корни , то фундаментальная система решений имеет вид:
.
Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения и , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .
Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: .
Кратным комплексным корням кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:
.
См. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью
Рассмотрим уравнение вида
,
где – многочлены степеней s1 и s2; – постоянные.
Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s – наибольшее из s1 и s2.
Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:
.
После этого получаем общее решение:
.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Здесь возможны три способа решения.
1) Метод Бернулли.
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
.
Затем делаем подстановку
,
где – функция от переменной x. Получаем дифференциальное уравнение для u, которое содержит только производные от u по x. Выполняя подстановку , получаем уравнение n – 1 - го порядка.
См. Решение дифференциальных уравнений высших порядков методом Бернулли
2) Метод линейной подстановки.
Сделаем подстановку
,
где – один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.
См. Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами
Пример решения ЛНДУ с действительными корнями характеристического уравнения
Пример решения ЛНДУ с комплексными корнями характеристического уравнения
3) Метод вариации постоянных Лагранжа.
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2) .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x. Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где – неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .
См. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа
Примеры решений ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа
Уравнение Эйлера
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .
См. Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения
Примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера
Пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера методом вариации постоянных
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: