Натуральный логарифм, функция ln x
Определение
- Натуральный логарифм
- – это функция y = ln x, обратная к экспоненте, x = e y, и являющаяся логарифмом по основанию числа е: ln x = loge x.
Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x.
Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045...;
.
График натурального логарифма ln x
График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x.
Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).
При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция xa с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.
Свойства натурального логарифма
Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание
Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.
| Область определения | 0 < x + ∞ |
| Область значений | – ∞ < y < + ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает |
| Нули, y = 0 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | нет |
| + ∞ | |
| – ∞ |
Значения ln x
ln 1 = 0
Основные формулы натуральных логарифмов
Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:
Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм".
Обратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента.
Если , то
Если , то .
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Интеграл вычисляется интегрированием по частям:
.
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексной переменной z:
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: