Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы
Арктангенс, arctg
Определение и обозначения
- Арктангенс ( y = arctg x )
- – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения и множество значений .
tg(arctg x) = x ;
arctg(tg x) = x .
Арктангенс обозначается так:
.
График функции арктангенс
График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.
Арккотангенс, arcctg
Определение и обозначения
- Арккотангенс ( y = arcctg x )
- – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений .
ctg(arcctg x) = x ;
arcctg(ctg x) = x .
Арккотангенс обозначается так:
.
График функции арккотангенс
График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.
Четность
Функция арктангенс является нечетной:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x
Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x.
Свойства – экстремумы, возрастание, убывание
Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x. (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.
| y = arctg x | y = arcctg x | |
| Область определения и непрерывность | – ∞ < x < + ∞ | – ∞ < x < + ∞ |
| Множество значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы, минимумы | нет | нет |
| Нули, y = 0 | x = 0 | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/2 |
| – | π | |
| 0 |
Таблица арктангенсов и арккотангенсов
В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
| x | arctg x | arcctg x | ||
| град. | рад. | град. | рад. | |
| – ∞ | – 90° | – | 180° | π |
| – | – 60° | – | 150° | |
| – 1 | – 45° | – | 135° | |
| – | – 30° | – | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 1 | 45° | 45° | ||
| 60° | 30° | |||
| + ∞ | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772
Формулы
См. Вывод формул обратных тригонометрических функций
Формулы суммы и разности
при
при
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
См. Вывод формул
,
.
Выражения через гиперболические функции
Производные
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >
Производные высших порядков:
Пусть . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.
См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.
Аналогично для арккотангенса. Пусть . Тогда
;
.
Интегралы
Делаем подстановку x = tg t и интегрируем по частям:
;
;
;
Выразим арккотангенс через арктангенс:
.
Разложение в степенной ряд
При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение:
;
.
Обратные функции
Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: