Определение и доказательство свойств логарифма

Теорема. Свойства логарифма

Логарифмическая функция с основанием a,   y = log_a x
имеет следующие свойства:
(1.1)   определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,;
(1.2)   имеет множество значений ;
(1.3)   строго возрастает при , строго убывает при ;
(1.4)     при ;
  при ;
(1.5)   ;
(1.6)   при ;
(1.7)     при  ;
(1.8)     при  ;
(1.9)     при  .

Доказательство свойств

1.1–1.4. На странице «Определение и доказательство свойств показательной функции» мы доказали, что показательная функция , при , определена, непрерывна и строго возрастает на множестве всех действительных чисел . Она имеет множество значений . Тогда по теореме об обратной функции, на интервале определена, непрерывна и строго возрастает обратная функция, которая называется логарифмом по основанию a. Множество значений логарифма совпадает с областью определения показательной функции и является интервалом .

Случай отличается от рассмотренного выше случая только тем, что для этих значений a, показательная функция строго убывает. Поэтому и обратная функция – логарифм, также строго убывает при .

1.5–1.6. Свойства (1.5–1.6) следуют из определения обратной функции:
  для всех  ;
  для всех  .
Полагая ,  ,  ,  ,  получаем:
  для всех x ;
  при  .

1.7–1.9. Применяем свойства 1.5–1.6 и свойства показательной функции.
;
.
Применяем предыдущее свойство.
;
.

Теорема доказана.