Теорема о существовании и монотонности обратной функции
Теорема
Если функция f строго возрастает (убывает),то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).
Доказательство
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y.
Докажем, что она имеет обратную функцию.
Исходя из определения, нам нужно доказать, что
для всех .
Допустим противное. Пусть существуют числа , так что . Пусть при этом . Иначе, поменяем обозначения, чтобы было . Тогда, в силу строгой монотонности f, должно выполняться одно из неравенств:
, если f строго возрастает;
, если f строго убывает.
То есть . Возникло противоречие. Следовательно, f имеет обратную функцию .
Пусть функция строго возрастает.
Докажем, что и обратная функция также строго возрастает. Введем обозначения:
. То есть нам нужно доказать, что если , то .
Допустим противное. Пусть , но .
Если , то . В этом случае . Возникло противоречие, поскольку, по предположению, . Этот случай отпадает.
Пусть . Тогда, в силу строгого возрастания функции , , или . Возникло противоречие. Поэтому возможен только случай .
Для строго возрастающей функции лемма доказана.
Пусть функция строго убывает.
Докажем, что и обратная функция также строго убывает. Нам нужно доказать, что если , то .
Допустим противное. Пусть , но .
Если , то . В этом случае . Возникло противоречие, поскольку, по предположению, .
Пусть . Тогда, в силу строгого убывания функции , , или . Возникло противоречие. Поэтому возможен только случай .
Теорема доказана.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: