Свойства непрерывных в точке функций

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
Тогда существует такая окрестность U(x₀), на которой функция ограничена.
Доказательство

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x₀) > 0     ( f(x₀) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0     ( f(x) < 0 )  при  x ∈ U(x₀).
Доказательство

Пусть функции f(x)  и  g(x) непрерывны в точке x₀.
Тогда сумма  f(x) + g(x), разность  f(x) – g(x)  и произведение  f(x) · g(x)  функций непрерывны в точке x₀.
Если  g(x₀) ≠ 0,
то и частное функций f(x) / g(x) непрерывно в точке x₀.
Доказательство

Функция  f  непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда,
когда она непрерывна в x₀ слева и справа.
Доказательство

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Все свойства Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
Тогда существует такая окрестность U(x₀), на которой функция ограничена.

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция , что для любого ,
  при  .

Положим . Тогда при имеем:
.
Раскроем знак модуля и преобразуем неравенства.
;
.
Пусть M есть наибольшее из чисел: . Тогда
, или
.

Итак, мы нашли окрестность , на которой функция ограничена числом :
.

Теорема доказана.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции

Все свойства Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x₀) > 0     ( f(x₀) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0     ( f(x) < 0 )  при  x ∈ U(x₀).

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция , что для любого ,
  при  .

Положим . Тогда при имеем:
(1)   .

Пусть . Раскроем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
;
;
.

Итак, мы нашли окрестность , на которой функция ограничена снизу положительным числом:
.
Поэтому на этой окрестности функция имеет положительное значение:
.
Для случая теорема доказана.

Теперь рассмотрим случай . Также раскрываем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
;
;
;
.

Тем самым мы нашли окрестность , на которой функция ограничена сверху отрицательным числом:
.
Поэтому на этой окрестности .

Теорема доказана.

Арифметические свойства непрерывных функций

Все свойства Пусть функции f(x)  и  g(x) непрерывны в точке x₀.
Тогда сумма  f(x) + g(x), разность  f(x) – g(x)  и произведение  f(x) · g(x)  функций непрерывны в точке x₀.
Если  g(x₀) ≠ 0,
то и частное функций f(x) / g(x) непрерывно в точке x₀.

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, Функция называется непрерывной в точке , если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел при стремящемся к существует и равен значению функции в :
.

Поскольку функции и непрерывны в точке , то они определены на некоторых окрестностях и , соответственно, этой точки. Пусть окрестность является пересечением окрестностей и . Тогда обе функции и определены на окрестности .

Поскольку функции и определены на окрестности , то они определены и на проколотой окрестности точки , которая получается из исключением точки .

Итак, функции и определены на некоторой проколотой окрестности конечной точки , и существуют их пределы:
  и  .
Тогда, согласно арифметическим свойствам пределов функции, существуют пределы суммы, разности и произведения функций:
;
;
.
Если , то существует предел частного:
.

Свойства доказаны.

Свойство непрерывности слева и справа

Все свойства Функция  f  непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда,
когда она непрерывна в x₀ слева и справа.

1)   Пусть функция непрерывна в точке . Докажем, что она непрерывна в справа и слева.

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению, имеется такая функция , так что для любого ,
(2)     при  .

Поскольку неравенство выполняется для любых значений , принадлежащих окрестности , то наложим дополнительное ограничение: . Тогда
для любого , имеется , так что
  при  .
Это означает, что . То есть функция непрерывна в справа.

Теперь, в (2), наложим ограничение . Тогда
для любого , имеется , так что
  при  .
Это означает, что . То есть функция непрерывна в слева.

Первая часть свойства доказана.

2)   Теперь пусть функция непрерывна в точке x₀ слева и справа.

Поскольку функция непрерывна слева, то имеется такая функция , так что для любого ,
  при  .

Поскольку функция непрерывна в точке справа, то имеется такая функция , так что для любого ,
  при  .

Пусть . Тогда . Если принадлежит окрестности , то также принадлежит окрестности . Поэтому
  при  .
Аналогично, если , то . Поэтому
  при  .

Итак, мы нашли такую функцию , при которой для любого ,
  при  .
Это означает, что . То есть функция является непрерывной в точке .

Свойство доказано.