Примеры как найти производные второго и высших порядков

Приводится список применяемых правил для нахождения производных высших порядков. Указаны методы, сокращающие вычисления. Рассмотрены примеры вычисления производных высших порядков явных функций.

Применяемые правила и методы

Чтобы найти производные высших порядков произвольной функции, нужно применить одно или несколько следующих правил и теорем: теорему производной суммы функций, произведения (формула Лейбница), формулы производных высших порядков элементарных функций. Эти правила изложены на странице
Производные второго и высших порядков – основные формулы, определения и теоремы

Кроме этого применяют некоторые приемы, позволяющие упростить вычисления. Это преобразование к неявной функции и использование комплексных чисел.

Преобразование к неявной функции применяют, чтобы дифференцировать более простое выражение. Вот несколько примеров.
При нахождении производных от y = √ 1 + x² , можно избавиться от корня, если возвести это равенство в квадрат: y² = 1 + x²,  y > 0, и далее находить производные от более простой неявной зависимости (пример 3).
Функцию y =e^tg 3x удобно прологарифмировать: ln y = tg 3x (пример 1).
Дробь y = ln xx можно умножить на знаменатель: xy = ln x, и дифференцировать произведение, а не частное (пример 2).

Использование комплексных чисел может быть полезным при дифференцировании некоторых функций, в состав которых входит синус и косинус. Суть метода заключается в том, что вместо исходной функции y =  f (x) вводят комплексную:
z =  f (x) + ig(x).
Дифференцируя n раз, получим:
z⁽ⁿ⁾ =  f ⁽ⁿ⁾ (x) + ig⁽ⁿ⁾ (x).
Отсюда n-я производная исходной функции  f (x) равна действительной части производной n-го порядка комплексной функции z(x):
 f ⁽ⁿ⁾ (x) = Re z⁽ⁿ⁾.
Например, e^ix = cos x + i sin x. Дифференцируя n раз имеем:
(e^ix)⁽ⁿ⁾ = iⁿ e^ix = (cos x)⁽ⁿ⁾ + i(sin x)⁽ⁿ⁾.
Учитывая, что iⁿ e^ix = (e^iπ / 2)ⁿ e^ix = e^inπ / 2 e^ix = e^{i(x + nπ / 2)} = cos(x + nπ / 2) + i sin(x + nπ / 2),
получаем известные формулы производных синуса и косинуса:
(cos x)⁽ⁿ⁾ = Re[ (e^ix)⁽ⁿ⁾ ] = cos(x + nπ / 2);
(sin x)⁽ⁿ⁾ = Im[ ((e^ix)⁽ⁿ⁾ ] = sin(x + nπ / 2).

Примеры с решениями

Здесь мы рассмотрим следующие примеры вычислений производных высших порядков.
Найти y′, y′′ от функции y =e^tg 3x y′′′ – ?
y = 12 ln² x y′′′ – ?
y = √ 1 + x²  y^VI – ?
y = (3x + 5)² (2x² + 3)(x + 7)² Найти n-ю производную,
y = x² sin x y⁽ⁿ⁾ – ?
y = e^ax cos bx

Пример 1

Найти производные первого и второго порядка следующей функции:
(П1.1)   y =e^tg 3x.

Решение преобразованием к неявной функции

Можно последовательно дифференцировать заданную функцию. Этот способ рассмотрен ниже. Но мы сделаем преобразование, чтобы находить производные от более простых выражений. Логарифмируя (П1.1), получаем неявную зависимость y от x:
(П1.1.1)   ln y = tg 3x.
Дифференцируем по переменной x:
(П1.1.2)   (ln y)^′ = (tg 3x)^′.

Находим производные в (П1.1.2), вводя переменную t = 3x, и применяя правило дифференцирования составной функции.
(ln y)^′ = d ln ydx = d ln ydy ⋅ dydx = 1y ⋅ y^′;
(ln y)^′ = y^′y;
(tg 3x)^′ = d tg 3xdx = d tg tdt ⋅ dtdx = 1(cos t)² ⋅ d3xdx = 1(cos 3x)² ⋅ 3;
(tg 3x)^′ = 3(cos 3x)².
Подставляем в (П1.1.2):
(П1.1.3)   y^′y = 3(cos 3x)².
Используя (П1.1), получаем первую производную:
y^′ = 3y(cos 3x)² = 3e^tg 3x(cos 3x)²;
(П1.1.4)   y^′ = 3e^tg 3x(cos 3x)².

Чтобы проще находить вторую производную, преобразуем уравнение (П1.1.3), умножив его на y(cos 3x)², и дифференцируем по x:
y^′(cos 3x)² = 3y;
(П1.1.5)   (y^′(cos 3x)²)^′ = 3y^′.
Находим производную левой части, применяя правила дифференцирования произведения и сложной функции, вводя переменные t = 3x,  u = cos t.
((cos 3x)²)^′ = d(cos 3x)²dx = d(cos t)²dt ⋅ dtdx = du²du ⋅ dudt ⋅ dtdx = du²du ⋅ d cos tdt ⋅ d3xdx =
 2u ⋅ (–sin t) ⋅ 3 = 2 cos 3x ⋅ (–sin 3x) ⋅ 3 = –3 ⋅ 2 cos 3x ⋅ sin 3x = –3 sin 6x;
((cos 3x)²)^′ = –3 sin 6x;
(y^′ ⋅ (cos 3x)²)^′ = y^′′ ⋅ (cos 3x)² + y^′ ⋅ ((cos 3x)²)^′ = y^′′(cos 3x)² – 3y^′ sin 6x;
(y^′(cos 3x)²)^′ = y^′′(cos 3x)² – 3y^′ sin 6x.
Подставляем в (П1.1.5), и используем (П1.1.4):
y^′′(cos 3x)² – 3y^′ sin 6x = 3y^′;
y^′′ = 3y^′ 1 + sin 6x(cos 3x)² = 3 3e^tg 3x(cos 3x)² ⋅ 1 + sin 6x(cos 3x)²;
y^′′ = 9 1 + sin 6xcos⁴ 3x ⋅e^tg 3x.

Ответ

y^′ = 3 e^tg 3xcos² 3x;
y^′′ = 9 1 + sin 6xcos⁴ 3x ⋅e^tg 3x.

Решение стандартным способом

Находим производную первого порядка. Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу  ( xⁿ )^′ = nx^n – 1  из таблицы производных:
(3x)^′ = 3(x)^′ = 3(x¹)^′ = 3 ⋅ 1 ⋅ x^1 – 1 = 3x⁰ = 3.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
(tg 3x)^′ = (tg t)^′_x = (tg t)^′_t ⋅ t^′_x = 1cos² t ⋅ (3x)^′ = 1cos² 3x ⋅ 3 = 3cos² 3x.
Здесь  t = 3x.
Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные:
y^′ = ( e^tg 3x )^′ = ( e^v )^′_x = ( e^v )^′_v ⋅ v^′_x =e^v ⋅ (tg 3x)^′ = e^tg 3x ⋅ 3cos² 3x = 3e^tg 3xcos² 3x.
Здесь  v = tg 3x.

Итак, мы нашли производную первого порядка:
y^′ = 3e^tg 3xcos² 3x.
Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от первой производной, то есть от функции
y^′(x) = 3e^tg 3xcos² 3x.
Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой  z:
(П1.2.1)   z(x) = 3e^tg 3xcos² 3x.
Тогда производная второго порядка от исходной функции  y  является производной от  z(x):
y^′′ = z^′(x).

Дифференцируем  z(x). Это проще сделать с помощью логарифмической производной. Логарифмируем (П1.2.1):
ln z(x) = ln 3 + tg 3x – 2 ln | cos 3x | .
Теперь дифференцируем:
(П1.2.2)   (ln z(x))^′ = (ln 3)^′ + (tg 3x)^′ – 2(ln | cos 3x | )^′.
Но  ln 3 – это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от  tg 3x  мы уже нашли. Находим оставшуюся производную по правилу дифференцирования сложной функции, вводя переменные t = 3x,  w = cos 3x.
(ln | z(x) | )^′ = (ln | z | )^′_x = (ln | z | )^′_z ⋅ z^′_x = 1z ⋅ z^′(x) = z^′(x)z;
(cos 3x)^′ = (cos t)^′_x = (cos t)^′_t ⋅ t^′_x = –sin t ⋅ (3x)^′ = –sin 3x ⋅ 3 = –3 sin 3x;
(ln | cos 3x | )^′ = (ln | w | )^′_x = (ln | w | )^′_w ⋅ w^′_x = 1w ⋅ (cos 3x)^′ = 1cos 3x ⋅ (–3 sin 3x) = –3 tg 3x.
Подставляем в (П1.2.2):
z^′(x)z = 0 + 3cos² 3x + 6 tg 3x = 3cos² 3x + 6 sin 3xcos 3x = 3 1 + 2 sin 3x cos 3xcos² 3x =
 3 1 + sin 6xcos² 3x.
Отсюда
z^′(x) = z ⋅ 3 1 + sin 6xcos² 3x = 3 3e^tg 3xcos² 3x ⋅ 1 + sin 6xcos² 3x = 9 1 + sin 6xcos⁴ 3x ⋅e^tg 3x.

Ответ

y^′ = 3 e^tg 3xcos² 3x;
y^′′ = 9 1 + sin 6xcos⁴ 3x ⋅e^tg 3x.

Пример 2

Найти производную третьего порядка:
y = 12 ln² x.

Решение

Находим производную первого порядка. Для этого выносим постоянную  12  за знак производной, используем таблицу производных и применяем правило нахождения производной сложной функции.
y^′ = 12 ( ln² x )^′ ≡ 12 ( (ln x)² )^′ = 12 ( u² )^′_x = 12 ( u² )^′_u ⋅ u^′_x = 12 2u ⋅ (ln x)^′ =
 ln x ⋅ 1x = ln xx.
Здесь  u = ln x.
Итак, мы нашли производную первого порядка:
(П2.1)   y^′ = ln xx.

Находим производную второго порядка. Для этого находим производную от  y^′. Применяем формулу производной дроби.
y^′′ = (y^′)^′ = ( ln xx )^′ = (ln x)^′ ⋅ x – ln x ⋅ (x)^′x² = 1x ⋅ x – ln x ⋅ 1x² = 1 – ln xx².
Производная второго порядка:
y^′′ = 1 – ln xx².

Теперь находим искомую производную третьего порядка. Для этого дифференцируем  y^′′.
( x² )^′ = 2x^2 – 1 = 2x¹ = 2x;
(1 – ln x)^′ = (1)^′ – (ln x)^′ = 0 – 1x = – 1x;
y^′′′ = ( y^′′ )^′ = ( 1 – ln xx² )^′ = (1 – ln x)^′ ⋅ x² – (1 – ln x) ⋅ (x²)^′( x² )² =
 – 1x ⋅ x² – (1 – ln x) ⋅ 2xx^2 ⋅ 2 = –x – 2x(1 – ln x)x⁴ = 2 ln x – 3x³.

Можно сделать по другому, избавившись от дробей. Умножим (П2.1) на x:
(П2.2)   xy^′ = ln x.
Дифференцируем.
(x ⋅ y^′)^′ = (ln x)^′;
(x)^′y^′ + xy^′′ = y^′ + xy^′′ = 1x.
Снова умножаем на x, и находим производную.
(П2.3)   xy^′ + x² y^′′ = 1;
(xy^′)^′ + (x² y^′′)^′ = (1)^′;
y^′ + xy^′′ + 2xy^′′ + x² y^′′′ = 0.
y^′ + 3xy^′′ + x² y^′′′ = 0.
Умножаем на x и применяем (П2.2) и (П2.3)
xy^′ + 3x² y^′′ + x³ y^′′′ = xy^′ + 3(1 – xy^′) + x³ y^′′′ = ln x + 3(1 – ln x) + x³ y^′′′ =
 3 – 2 ln x + x³ y^′′′ = 0.
Отсюда
y^′′′ = 2 ln x – 3x³.

Ответ

Производная третьего порядка равна
y^′′′ = 2 ln x – 3x³.

Пример 3

Найти производную третьего порядка от функции
(П3.1)   y = √ 1 + x² .

Решение

Чтобы избавиться от корня, возводим (П3.1) в квадрат.
y² = 1 + x²,  y > 0.
Дифференцируем три раза, попутно выполняя преобразования.
(y²)^′ = (1 + x²)^′;
2yy^′ = 2x;
(П3.2)   yy^′ = x;
(yy^′)^′ = (x)^′;
y^′y^′ + yy^′′ = 1;
(П3.3)   yy^′′ = 1 – (y^′)²;
(yy^′′)^′ = (1 – (y^′)²)^′;
y^′y^′′ + yy^′′′ = 0 – 2y^′y^′′;
yy^′′′ = –3y^′y^′′.
Умножим на y⁴, и применим (П3.2) и (П3.3).
y⁵ y^′′′ = –3yy^′ ⋅ y² ⋅ yy^′′ = –3x ⋅ y² ⋅ (1 – (y^′)²) = –3x ⋅ (y² – (yy^′)²) =
 –3x ⋅ (y² – x²) = –3x ⋅ (1 + x² – x²) = –3x;
y^′′′ = – 3xy⁵ = – 3x(1 + x²)^5 / 2.

Ответ

Производная третьего порядка равна
y^′′′ = – 3x(1 + x²)^5 / 2.

Пример 4

Найти производную шестого порядка следующей функции:
y = (3x + 5)² (2x² + 3)(x + 7)².

Решение

Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени  2 + 2 + 2 = 6. Запишем ее в виде многочлена:
y = c₆ x⁶ + c₅ x⁵ + c₄ x⁴ + c₃ x³ + c₂ x² + c₁ x + c₀,
где  c₀, c₁, c₂, ... c₆  – постоянные коэффициенты.

Далее применим формулу n-й производной степенной функции:
( x^m )⁽ⁿ⁾ = m (m – 1) ...   (m – n + 1) x^m – n.
Для производной шестого порядка (n = 6) имеем:
( x^m )⁽⁶⁾ = m (m – 1) (m – 2)  (m – 3) (m – 4) (m – 5) x^m – 6.
Отсюда видно, что  ( x^m )⁽⁶⁾ = 0  при  m ≤ 5. При  m = 6 имеем:
( x⁶ )⁽⁶⁾ = 6 (6 – 1) (6 – 2) (6 – 3)  (6 – 4) (6 – 5) x^6 – 6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ x⁰ = 6!.

Используем формулу производной суммы функций:
y⁽⁶⁾ = c₆ ( x⁶ )⁽⁶⁾ + c₅ ( x⁵ )⁽⁶⁾ + c₄ ( x⁴ )⁽⁶⁾ + c₃ ( x³ )⁽⁶⁾ + c₂ ( x² )⁽⁶⁾ + c₁ ( x )⁽⁶⁾ +
 ( c₀ )⁽⁶⁾ = c₆ ⋅ 6! + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = c₆ ⋅ 6!.
Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени  x⁶. Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции:
y = (3x + 5)² (2x² + 3)(x + 7)² = (3x + 0)² (2x² + 0)(x + 0)²+ ... =
 9x² ⋅ 2x² ⋅ x²+ ... =18x⁶+ ... .
Отсюда  c₆ = 18. Тогда
y⁽⁶⁾ = c₆ ⋅ 6! = 18 ⋅ 6! = 12960.

Ответ

y⁽⁶⁾ = 18 ⋅ 6! = 12960.

Пример 5

Найти n-ю производную функции
y = x² sin x.

Пример 6

Найти n-ю производную следующей функции:
y = e^ax cos bx,
где a и b – постоянные.

Решение

В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию
z(x) = u(x) + iv(x),
где  u(x)  и  v(x)  – функции от действительной переменной x;
i – мнимая единица,  i² = –1.
Дифференцируя n раз, имеем:
z⁽ⁿ⁾ (x) = u⁽ⁿ⁾ (x) + iv⁽ⁿ⁾ (x).
Иногда проще найти n-ю производную от функции z(x). Тогда n-е производные функций  u(x)  и  v(x)  определяются как действительная и мнимая части от n-й производной z⁽ⁿ⁾ (x):
u⁽ⁿ⁾ (x) = Re z⁽ⁿ⁾ (x);
v⁽ⁿ⁾ (x) = Im z⁽ⁿ⁾ (x).

Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию
z(x) = e^ax cos bx + ie^ax sin bx = e^ax (cos bx + i sin bx ) = e^ax e^ibx = e^{(a + ib)x} = e^βx.
Здесь мы применили формулу Эйлера
e^iφ = cos φ + i sin φ,
и ввели обозначение
β = a + ib.
Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле:
y⁽ⁿ⁾ = Re z⁽ⁿ⁾.

Найдем n-ю производную функции
z(x) = e^βx.
Для этого применим формулу:
( a^x )⁽ⁿ⁾ = a^x  lnⁿ a.
В нашем случае
z(x) = ( e^β )^x.
Тогда
z⁽ⁿ⁾ (x) = ( ( e^β )^x )⁽ⁿ⁾ = ( e^β )^x  ( ln e^β )ⁿ = e^βx  ( β ln e )ⁿ = βⁿ e^βx.

Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции  z(x):
z⁽ⁿ⁾ (x) = βⁿ e^βx,
где  β = a + ib.
Найдем действительную часть функции  z⁽ⁿ⁾ (x).
Для этого представим комплексное число  β в показательной форме:
β = a + ib = ρe^iφ,
где  ρ = √ a² + b² ;
sin φ = b√ a² + b² ;   cos φ = a√ a² + b² .
Тогда
βⁿ = ( ρe^iφ )ⁿ = ρⁿ e^inφ;
z⁽ⁿ⁾ (x) = βⁿ e^βx = ρⁿ e^inφ e^{(a + ib)x} = ρⁿ e^ax e^{i(bx + nφ)} =
 ρⁿ e^ax (cos(bx + nφ) + i sin(bx + nφ)).

Решение примера
y⁽ⁿ⁾ = Re z⁽ⁿ⁾ = ρⁿ e^ax cos(bx + nφ) = ( a² + b² )^n / 2 e^ax cos(bx + nφ).

Пусть a > 0, b > 0.
Тогда φ = arctg ba;
y⁽ⁿ⁾ = ( a² + b² )^n / 2 e^ax cos( bx + n arctg ba  ).
При a → 0,
y(x) = e^ax cos bx → cos bx,
ρ = √ a² + b²  → b,
φ = arctg ba → arctg(+∞) = π2.
И мы получаем формулу n-й производной косинуса:
y⁽ⁿ⁾ = bⁿ cos(bx + nπ / 2).

Ответ

y⁽ⁿ⁾ = ( a² + b² )^n / 2 e^ax cos(bx + nφ),
где
sin φ = b√ a² + b² ;   cos φ = a√ a² + b² .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 16-12-2016   Изменено: 08-06-2023