Определение производных высших порядков
Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y зависит от переменной x явным образом:
.
Дифференцируя функцию по переменной x, получаем производную первого порядка, или просто производную:
.
В результате получаем новую функцию , которая является производной функции . Дифференцируя эту новую функцию по переменной x, получаем производную второго порядка:
.
Дифференцируя функцию , получаем производную третьего порядка:
.
И так далее. Дифференцируя исходную функцию n раз, получаем производную n-го порядка или n-ю производную:
.
Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так:
;
.
Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков.
Полезные формулы производных n-го порядка
Производные некоторых элементарных функций:
;
;
;
;
.
Производная суммы функций:
,
где – постоянные.
Формула Лейбница производной произведения двух функций:
,
где
– биномиальные коэффициенты.
Примеры решений задач
Все примеры Здесь мы рассмотрим следующие примеры вычислений производных высших порядков.
Найти y′, y′′ от функции
y′′′ – ?,
yVI – ?,
Найти n-ю производную,
Пример 1
Все примеры Найти производные первого и второго порядка следующей функции:
.
Решение
Находим производную первого порядка. Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу из таблицы производных:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные:
.
Здесь .
Итак, мы нашли производную первого порядка:
.
Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от производной первого порядка, то есть от функции:
.
Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой :
(П1.1) .
Тогда производная второго порядка от исходной функции является производной от функции :
.
Находим производную от функции . Это проще сделать с помощью логарифмической производной. Логарифмируем (П1.1):
.
Теперь дифференцируем:
(П1.2) .
Но – это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от мы уже нашли. Находим остальнве производные по правилу дифференцирования сложной функции.
;
;
.
Подставляем в (П1.2):
.
Отсюда
.
Ответ
;
.
Пример 2
Все примеры Найти производную третьего порядка:
.
Решение
Находим производную первого порядка. Для этого выносим постоянную за знак производной, используем таблицу производных и применяем правило нахождения производной сложной функции.
.
Здесь .
Итак, мы нашли производную первого порядка:
.
Находим производную второго порядка. Для этого находим производную от . Применяем формулу производной дроби.
.
Производная второго порядка:
.
Теперь находим искомую производную третьего порядка. Для этого дифференцируем .
;
;
.
Ответ
Производная третьего порядка равна
.
Пример 3
Все примеры Найти производную шестого порядка следующей функции:
.
Решение
Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени . Запишем ее в виде многочлена:
,
где – постоянные коэффициенты.
Далее применим формулу n-й производной степенной функции:
.
Для производной шестого порядка (n = 6) имеем:
.
Отсюда видно, что при . При имеем:
.
Используем формулу производной суммы функций:
.
Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени . Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции:
.
Отсюда . Тогда
.
Ответ
.
Пример 4
Все примеры Найти n-ю производную функции
.
Пример 5
Все примеры Найти n-ю производную следующей функции:
,
где и – постоянные.
Решение
В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию
(П5.1) ,
где и – функции от действительной переменной x;
– мнимая единица, .
Дифференцируя (П.1) n раз, имеем:
(П5.2) .
Иногда проще найти n-ю производную от функции . Тогда n-е производные функций и определяются как действительная и мнимая части от n-й производной :
;
.
Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию
.
Здесь мы применили формулу Эйлера
,
и ввели обозначение
.
Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле:
.
Найдем n-ю производную функции
.
Для этого применим формулу:
.
В нашем случае
.
Тогда
.
Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции :
,
где .
Найдем действительную часть функции .
Для этого представим комплексное число в показательной форме:
,
где ;
; .
Тогда
;
.
Решение примера
.
Пусть , .
Тогда ;
.
При ,
,
,
.
И мы получаем формулу n-й производной косинуса:
.
Ответ
,
где
; .