Примеры вычисления производных высших порядков явных функций

Определение производных высших порядков

Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y зависит от переменной x явным образом:
.
Дифференцируя функцию    по переменной x, получаем производную первого порядка, или просто производную:
.
В результате получаем новую функцию  , которая является производной функции  . Дифференцируя эту новую функцию    по переменной x, получаем производную второго порядка:
.
Дифференцируя функцию  , получаем производную третьего порядка:
.
И так далее. Дифференцируя исходную функцию    n раз, получаем производную n-го порядка или n-ю производную:
.

Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так:
;
.

Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков.

Полезные формулы производных n-го порядка

Производные некоторых элементарных функций:
;
;
;
;
.

Производная суммы функций:
,
где    – постоянные.

Формула Лейбница производной произведения двух функций:
,
где
– биномиальные коэффициенты.

Примеры решений задач

Здесь мы рассмотрим следующие примеры вычислений производных высших порядков.
Найти y′, y′′ от функции
y′′′ – ?,  
y^VI – ?,  
Найти n-ю производную,      

Пример 1

Найти производные первого и второго порядка следующей функции:
.

Решение

Находим производную первого порядка. Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу    из таблицы производных:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь  .
Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные:
.
Здесь  .

Итак, мы нашли производную первого порядка:
.
Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от производной первого порядка, то есть от функции:
.
Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой  :
(П1.1)   .
Тогда производная второго порядка от исходной функции    является производной от функции  :
.

Находим производную от функции  . Это проще сделать с помощью логарифмической производной. Логарифмируем (П1.1):
.
Теперь дифференцируем:
(П1.2)   .
Но   – это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от    мы уже нашли. Находим остальнве производные по правилу дифференцирования сложной функции.
;
;
.
Подставляем в (П1.2):

.
Отсюда
.

Ответ

;
.

Пример 2

Найти производную третьего порядка:
.

Решение

Находим производную первого порядка. Для этого выносим постоянную    за знак производной, используем таблицу производных и применяем правило нахождения производной сложной функции.

.
Здесь  .
Итак, мы нашли производную первого порядка:
.

Находим производную второго порядка. Для этого находим производную от  . Применяем формулу производной дроби.
.
Производная второго порядка:
.

Теперь находим искомую производную третьего порядка. Для этого дифференцируем  .
;
;

.

Ответ

Производная третьего порядка равна
.

Пример 3

Найти производную шестого порядка следующей функции:
.

Решение

Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени  . Запишем ее в виде многочлена:
,
где    – постоянные коэффициенты.

Далее применим формулу n-й производной степенной функции:
.
Для производной шестого порядка (n = 6) имеем:
.
Отсюда видно, что    при  . При   имеем:
.

Используем формулу производной суммы функций:

.
Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени  . Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции:

.
Отсюда  . Тогда
.

Ответ

.

Пример 4

Найти n-ю производную функции
.

Пример 5

Найти n-ю производную следующей функции:
,
где и – постоянные.

Решение

В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию
(П5.1)   ,
где    и    – функции от действительной переменной x;
– мнимая единица,  .
Дифференцируя (П.1) n раз, имеем:
(П5.2)   .
Иногда проще найти n-ю производную от функции . Тогда n-е производные функций    и    определяются как действительная и мнимая части от n-й производной :
;
.

Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию
.
Здесь мы применили формулу Эйлера
,
и ввели обозначение
.
Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле:
.

Найдем n-ю производную функции
.
Для этого применим формулу:
.
В нашем случае
.
Тогда
.

Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции  :
,
где  .
Найдем действительную часть функции  .
Для этого представим комплексное число   в показательной форме:
,
где  ;
;   .
Тогда
;

.

Решение примера
.

Пусть , .
Тогда ;
.
При ,
,
,
.
И мы получаем формулу n-й производной косинуса:
.

Ответ

,
где
;   .