Интегрирование рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена
Метод интегрирования
Здесь мы рассматриваем интегралы вида:
∫ R( x, √ ax 2 + bx + c )dx ,
где R – рациональная функция.
Ранее мы рассмотрели интегралы с квадратным корнем от трехчлена трех типов.
(i) ∫ Pn (x ) dx√ ax 2 + bx + c Подробнее >>>
(ii) ∫ Pm (x ) dx(x – α ) n √ ax 2 + bx + c Подробнее >>>
(iii) ∫ (Mx + N ) dx(x 2 + px + q ) n √ ax 2 + bx + c Подробнее >>>
Здесь Pn (x) – многочлен степени n от x .
Покажем, что любой интеграл от рациональной функции вида ∫ R( x, √ ax 2 + bx + c )dx , можно выразить через интегралы (i), (ii) и (iii) и интеграл от рациональной функции ∫ R(x ) dx .
Доказательство
Прежде всего заметим, что любая целая степень от квадратного корня √ ax 2 + bx + c является или многочленом (для четных степеней), или произведением многочлена на корень √ ax 2 + bx + c .
Действительно, имеем.
( √ ax 2 + bx + c ) 1 = √ ax 2 + bx + c ;
( √ ax 2 + bx + c ) 2 = ax 2 + bx + c ;
( √ ax 2 + bx + c ) 3 = ( √ ax 2 + bx + c ) 2 ⋅ ( √ ax 2 + bx + c ) 1 = ( ax 2 + bx + c ) √ ax 2 + bx + c ;
( √ ax 2 + bx + c ) 4 = ( ax 2 + bx + c ) 2 ;
И так далее.
Любую рациональную функцию можно представить в виде дроби, в числителе и знаменателе которой стоят суммы конечного числа членов от целочисленных степеней ее аргументов.
R( x, √ ax 2 + bx + c ) = Σi,kαik x i ( √ ax 2 + bx + c ) kΣi,kβik x i ( √ ax 2 + bx + c ) k .
Поскольку целая степень от квадратного корня является или многочленом от x , или произведением многочлена на корень, то
R( x, √ ax 2 + bx + c ) = P(x ) + Q(x ) √ ax 2 + bx + c V(x ) + W(x ) √ ax 2 + bx + c ,
где P(x) , Q(x) , V(x) , W(x) – многочлены от x .
Умножим числитель и знаменатель на V(x ) – W(x ) √ ax 2 + bx + c и применим формулу (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 .
В знаменателе имеем.
( V(x ) + W(x ) √ ax 2 + bx + c ) ⋅ ( V(x ) – W(x ) √ ax 2 + bx + c ) =
(V(x )) 2 – (W(x )) 2 ( √ ax 2 + bx + c ) 2 = (V(x )) 2 – (W(x )) 2 ⋅ ( ax 2 + bx + c ) =
U(x ) .
Как видно, знаменатель становится многочленом, который мы обозначили через U(x) . В числителе по прежнему имеется сумма произведений целочисленных степеней от x и √ ax 2 + bx + c . Поэтому числитель имеет прежний вид P * (x ) + Q * (x ) √ ax 2 + bx + c , где P*(x) , Q*(x) - многочлены. Таким образом, имеем
R( x, √ ax 2 + bx + c ) = P * (x ) + Q * (x ) √ ax 2 + bx + c U(x ) = P * (x )U(x ) + Q * (x )( √ ax 2 + bx + c ) 2U(x ) √ ax 2 + bx + c = R(x ) + Q * * (x )U(x ) ⋅ 1√ ax 2 + bx + c ,
где R(x) – рациональная функция, Q**(x) – многочлен.
Если степень многочлена Q**(x) больше, чем у многочлена U(x) , то выделим целую часть. Тогда
Q * * (x )U(x ) = P * * (x ) + Q * * * (x )U(x ) ,
где P**(x) – многочлен, Q * * * (x )U(x ) – правильная дробь. Имеем R( x, √ ax 2 + bx + c ) = R(x ) + P * * (x )√ ax 2 + bx + c + Q * * * (x )U(x ) ⋅ 1√ ax 2 + bx + c . Правильную дробь Q * * * (x )U(x ) разложим на простейшие. Это даст сумму членов вида A(x – α ) n и Mx + N(ex 2 + fx + g ) m .
Подставляя все члены разложения в R( x, √ ax 2 + bx + c ) и интегрируя получаем, что интеграл ∫ R( x, √ ax 2 + bx + c ) dx выражается через интегралы вида ∫ R( x ) dx , ∫ P * * (x ) dx√ ax 2 + bx + c , ∫ dx(x – α ) n √ ax 2 + bx + c и ∫ (Mx + N ) dx(ex 2 + fx + g ) m √ ax 2 + bx + c .
Что и требовалось доказать.
Пример
Все примеры Найти интеграл
I = ∫ dxx – √ x 2 – 1
Решение
Умножим числитель и знаменатель на x + √ x 2 – 1 .
1x – √ x 2 – 1 = x + √ x 2 – 1 (x – √ x 2 – 1 )(x + √ x 2 – 1 ) = x + √ x 2 – 1 x 2 – ( √ x 2 – 1 ) 2 =
x + √ x 2 – 1 x 2 – ( x 2 – 1 ) = x + √ x 2 – 1 = x + ( √ x 2 – 1 ) 2√ x 2 – 1 = x + x 2 – 1√ x 2 – 1 .
Интегрируем.
I = ∫ x dx + ∫ x 2 – 1√ x 2 – 1 dx = 12 x 2 + I2
Ищем решение оставшегося интеграла в виде
I2 = ∫ x 2 – 1√ x 2 – 1 dx = (Ax + B ) √ x 2 – 1 + D ∫ dx√ x 2 – 1 .
Дифференцируем по x .
I ′2 = x 2 – 1√ x 2 – 1 =
(Ax + B ) ′( x 2 – 1 ) 1 / 2 + (Ax + B )( ( x 2 – 1 ) 1 / 2 ) ′ + D√ x 2 – 1 =
A( x 2 – 1 ) 1 / 2 + (Ax + B ) 12 ( x 2 – 1 ) 1 / 2 – 1 ⋅ ( x 2 – 1 ) ′ + D√ x 2 – 1 =
A( x 2 – 1 ) 1 / 2 + 12 (Ax + B )( x 2 – 1 ) – 1 / 2 ⋅ 2x + D√ x 2 – 1 .
Умножая на √ x 2 – 1 , имеем
x 2 – 1 = A( x 2 – 1 ) + (Ax + B ) ⋅ x + D = 2Ax 2 + Bx + D – A .
Сравнивая левую и правую части, находим значения коэффициентов.
2A = 1 , A = 1/2 ;
B = 0 ;
D – A = – 1 , D = A – 1 = – 1/2 .
Окончательно имеем.
I2 = 12 x √ x 2 – 1 – 12 ∫ dx√ x 2 – 1 = 12 x √ x 2 – 1 – 12 ln ( x + √ x 2 – 1 ) ;
I = 12 x 2 + I2 .
Ответ
I = 12 x 2 + 12 x √ x 2 – 1 – 12 ln ( x + √ x 2 – 1 ) + C .
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: